Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
exp{-tVf{U)} = Fga{%, t)F-1, (4.90)
где F{x,X)- решение уравнения вспомогательной линейной задачи для
начального условия U (х, Я), a g0(X, t) принимает значения в картановской
подгруппе К группы G, не зависящей от t. Действительно, рассмотрим
функции h(Я), переводящую матрицу монодромии в функцию, принимающую
значения в фиксированной картановской подгруппе К,
Т (U (¦, Я)) = h (Я) Т (U (¦, Я)) /Г1 (Я) = h (Я) ехр С (Я) Г1 (Я),
(4.91)
где С{Я) принимает значения в соответствующей картановской подалгебре !.
Из формул (4.46) - (4,50) следует, что
U(x, X) = Ad*h(x, X)-U0(X),
(4.92)
§ 5. ИЛЛЮСТРАЦИЯ ОБЩЕП СХЕМЫ. МОДЕЛЬ НШ
489
где
U0 (к) = С (к), h (х, k) = F (х, I) h (I) exp ( - С ft)) (4.93)
и F(x,k) удовлетворяет уравнению вспомогательной линейной задачи с
граничным условием (4.84). Теперь, вспоминая, что градиент инвариантной
функции преобразуется подобно, получим формулу
V/ (U (х, I)) = F (х, к) h (I) V/ (ig /Г1 (I) F1 (X, к), (4.94)
где мы учли, что V/(?/"), так же как U0, принимает значения в !. Формула
(4.90) немедленно следует из (4.94). Это замечание показывает, что
преобразование динамики естественно включается в общую группу процедуры
одевания. В частности, из него еще раз следует, что процедура одевания
переводит множество решений уравнений движения в себя. Однако, в отличие
от преобразований динамики, общее преобразование одевания не является
гамильтоновым.
На этом мы закончим описание общей геометрической схемы метода обратной
задачи. Конечно, наше изложение было неполным. Аналитическое обоснование
приведенных формальных бесконечномерных конструкций выходит за рамки
настоящей книги. Тем не менее мы привели здесь эту общую схему, поскольку
она представляется нам достаточно элегантной и проливает свет на основные
конструкции метода обратной задачи, которые мы использовали при
рассмотрении конкретных моделей на протяжении всей книги.
§ 5. Иллюстрация общей схемы на примере модели НШ
Завершая эту книгу, мы еще раз вернемся к нашему основному примеру -
модели НШ и посмотрим, как развитый в части I метод ее точного решения
согласуется с общим геометрическим рассмотрением настоящей главы. Именно,
мы покажем, в каком смысле задача Римана, использованная для решения
начальной задачи в гл. II части I, получает интерпретацию как задача о
факторизации из § 4. Кроме того, мы свяжем введенную в § III.5 части I
иерархию пуассоновых структур и порождающий их Л-оператор с семейством
пуассоновых структур из п. 3 § 4. При этом мы докажем обещанное в § III.5
части I тождество Якоби.
При обсуждении задачи Римана мы ограничимся случаем быстроубывающих
граничных условий и будем считать, что дискретный спектр отсутствует.
Решение начальной задачи для модели НШ при помощи задачи Римана, данное в
§ 111.3 части I, состояло в следующем: по начальным данным ф(х), ф(х) мы
строили коэффициент перехода b(k) и решали семейство
490
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИИ ПОДХОД
регулярных задач Римана
G (х, t, X) = G+ (х, I, X) G_ (х, t, I), (5.1)
где
/ - "•? у l ti2i\ ОМ i№t
т м\ I е^Ш е \ - <V /
G (х, t,1) = = е - G (х, I) е ' ,
- Ь (X) 1
8 = sign я, (5.2)
G(x,K) = G(x, ОД). (5.3)
В качестве контура Г выбиралась вещественная ось и предполагалось, что
решения G±(x,t,X) допускают аналитическое продолжение в
полуплоскости ±1шХ,>0, невырожденны там и нор-
мированы на I при | Я, | ->-оо;
G±(x,/, оо) =/. (5.4)
Матрица U(x,t,X) из вспомогательной линейной задачи выражалась через
решения G±(x,t,X) следующими формулами:
U {х, t ,Х) =
= - G;1 {х, t, I) д-^~ (х, t, X) + A G;1 (х, t, X) a8G+ (X, t, X) =
дх 21
= A- {x t k) G:i {Xt t,X) + A G_ (X, t, X) afil1 (X, t, X). (5.5)
dx 21
В обозначениях из § 4 эти формулы записываются в компактном виде:
и (0 = AcTG;1 (0 (¦= Ad'G_ (0 (^- j , (5.6)
где здесь и ниже мы часто будем опускать зависимость от л: и X.
Используя формулы (5.6) и групповое свойство Ad', получаем представление
для решения U(t) в терминах начального данного U0=U{i) |(=0:
и (0 = Ad* л;1 (0 и0 = Ad*А_ (о и0, (5.7)
где матрицы h±(t) имеют вид
К (*" U К) = G71 (х, 0, X) G+ (х, t, X), (5.8)
А_ (х, t, X) = G_ (х, i, X) GZ1 (x, 0, X). (5.9)
Эти матрицы дают решение задачи о факторизации
А(0=М0М0. (5.10)
§ 5. ИЛЛЮСТРАЦИЯ ОБЩЕЙ СХЕМЫ. МОДЕЛЬ НШ
491
где матрица h(t) представляется в виде
(5.11*
и выражается через решения задачи Римана (5.1) при / = О, которые
однозначно определяются начальным условием U".
Формулы (5.7) совпадают с общими формулами (4.17) из п. 1 § 4 для решения
начальной задачи для абстрактного гамильтонова уравнения (4.10), которое,
как мы знаем из п. 2 § 4, представляет собой уравнение нулевой кривизны.
Однако общая задача о факторизации (4.16) и задача Римана (5.10)
отличаются: в первой задаче речь шла о факторизации однопараметрической
подгруппы матриц g'(/)=exp{-tVH(U0)}, в то время как участвующие во
второй задаче матрицы h(i) однопараметрической подгруппы не образуют.
Для согласования этих двух подходов к решению начальной задачи заметим,
