Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для модели НШ в качестве Д и Д мы можем выбрать функ--цноналы числа
частиц N
N
= J \i'(x)\2dx (5.53)
§ 6. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
497
и импульса Р
(5.54)
- оо
и проверить соотношение (5.43) по заданным скобкам Пуассона { , }(0) и {
, }(i) в форме (5.19) и (5.36) - (5.37). Из приведенных рассуждений
следует существование А-оператора, иерархии пуассоновых структур {,}(й) и
семейства функционалов /,,, инволютивного по отношению ко всем этим
скобкам Пуассона.
Итак, вернувшись к модели НШ, мы по-новому осветили связанные с ней
структуры. Тем самым мы замкнули круг идей, которым посвящена эта книга,
и на этом месте она пришла к естественному концу.
§ 6. Комментарии и литературные указания
1) Скобка Ли - Пуассона вида (1.3) на фазовом пространстве д* была
введена и изучалась С. Ли [4.52]. Эта пуассопова структура и порожденная
ею симплектическая структура на орбитах коприсоединенного действия алгеб-
?ы Ли g в дальнейшем переоткрывалась различными авторами: [4.3], [4.16],
4.49], [4.62]. Современное изложение свойств скобки Ли - Пуассона и
теории пуассоновых многообразий содержится в работе [4.64].
2) Термин алгебра токов для бесконечномерной алгебры ЛиС(д) = = С(r)С[[а,
Я-]] взят из квантовой теории поля. В математической литературе алгебры
Ли С(д) называются алгебрами нетель.
3) Схема построения интегрируемых систем, использующая разложение алгебры
Ли в линейную сумму двух подалгебр, была предложена Б. Костан-том на
конечномерном примере модели Тода со свободными концами [4.50J. В работах
[4.23], [4.36], [4.56], [4,57-4.58], [4.63] эта схема была
усовершенствована и применена к широкому классу алгебр Ли, включающему и
бесконечномерные алгебры; вторая структура алгебры Ли с коммутатором [ ,
]0 была введена в [4.56], [4.58].
4) Связь г-матричной формулировки с алгеброй Ли С0(д) была обнаружена в
работе [4.30].
5) Формула (1.25) подсказывает абстрактное определение ^-матрицы,
введенное в работе [4.31]: Л-матрицей называется оператор R в алгебре
Лид, для которого коммутатор вида (1.25) удовлетворяет тождеству Якоби.
Важный класс Л-матриц образуют операторы R, удовлетворяющие при всех | и
г) из алгебры Ли g уравнению
- так называемому модифицированному уравнению Янга - Бакстера (см.
[4.31]). Именно это уравнение справедливо для интегрального оператора R в
С(д) с ядром г(Х-р) вида (1.31), где интеграл понимается в смысле
главного значения; при Хф\1 оно совпадает с обычным уравнением Янга -
Бакстера (2.3).
6) Для придания строгого смысла обозначениям А(r)1 и 1(r)А из § 1 следует
считать, что алгебра Ли g вложена в ассоциативную алгебру с единицей
(например, в универсальную обертывающую алгебру (7(g)); ясно, что эти
обозначения "функториальны".
7) Описание алгебры функций Казимира алгебры ЛиС№,м(д) приведено в
работах [4.18], [4.34].
[ЛЕ, Лт]]-Л([Л?, т)] + [Е, Лч])=-[Е, ч]
(6.1)
498
ГЛ. IV. ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
8) Многополюсные пуассоновы подмногообразия из § 1 допускают простую
интерпретацию в терминах алгебры Ли дй над кольцом аделей А поля С (Я)
рациональных функций на С (см. [4.35]). Аналогом разложения (1.16)
является представление алгебры Ли дд в виде суммы подалгебры главных
аделей д(Я) -рациональных функций от X со значениями в д - и подалгебры
целых аделей g д (переформулировка разложения рациональной функции на
простые дроби). Элементы U(X) вида (1.55) образуют пуассоново
подмногообразие в д(Я) относительно действия подалгебры дд.
9) Классификация решений уравнений (2.2) - (2.3), принимающих значения в
простой алгебре Ли д, дана в работе [4.2]. В ней дано описание всех
тригонометрических и эллиптических г-матриц вида r(u) =Xab(u)ta(r)tb с не
вырождающейся тождественно матрицей ХаЬ(и), удовлетворяющей условию
ХаЪ(и) =6оЬ/и + 0(1) при и->-0, где ta - базис в д, ортонормированный
относительно формы Киллинга, и построено обширное семейство рациональных
г-матриц. При этом обнаружилась тесная связь задачи о классификации
тригонометрических г-матриц со структурной теорией аффинных алгебр Ли.
10) Способ построения тригонометрических и эллиптических г-матриц и
связанных с ними фундаментальных скобок Пуассона при помощи процедуры
усреднения был предложен в работе [4.30]. Не все тригонометрические г-
матрицы получаются таким образом; однако можно показать, что для
построения всех таких г-матриц нужно скомбинировать процедуру усреднения
с расширением линейных операторов по фон Нейману [4.2], [4,31],
11) Отметим, что если автоморфизмы конечного порядка 0 и в' алгебры Ли g
имеют абелевы подалгебры неподвижных точек и отличаются на внутренний
автоморфизм, то построенные по ним тригонометрические г-матрицы
эквивалентны [4,2].
12) Эллиптическая г-матрица при п=2 была введена Е. К. Скляниным в [4,61]
и обобщена на произвольные размерности в работе [4.1]. В [4,33] она была
проинтерпретирована как матричный аналог дзета-функции Вейер-штрасса,
13) Можно определить аналог алгебры Ли Со (д) для тригонометрического и
