Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
ЬВ3 ЬВ{ B2
V3C = JsB1B2, Vfc = -JfBlB2 —. (7.19)
Эт?с ^c В)
Отметим прежде всего, что солитоны (уединенные волны с амплитудой, равной нулю при | Tjc | = 00) существуют только на двух частотах, а на третьей частоте распространяется "темный" солитон. Вершине солитонов (bBfjbi}c= 0) соответствует нулевая амплитуда волны параметрической накачки, или, можно сказать, вершина "темного" солитона.
Односолитонное решение уравнений (7.19) при накачке волной частоты W3 имеет вид (рис. 7.4)
Bf = Ejo sech (т?с/тс), B3 = E30 th (т/с/тс). (7.20)
8. А.П. Сухоруков
113 Подставляя (7.20) в (7.19), получаем три соотношения, связывающие параметры солитонов:
Vjctf о = JjTcEi0E20E30 (/ = 1,2,3). (7.21)
В зависимости от знака правой части в (7.21) скорость солитонов может быть или больше скоростей волновых пакетов в линейной среде (Uc >«/), или меньше («с < uj) .
Рис. 7.4. Профили интенсивностей солитонов в среде с квадратичной нелинейностью и относительной дисперсией первого порядка:
групповые скорости всех ВОЛН в линейной среде различны; номера кривых здесь и на следующих двух рисунках соответствуют значениям индекса J = 1,2,3
1/2 Г1,
Если считать уровень волны накачки E30 заданным, а длительность солитона варьируемым параметром, то из (7.21) можно получить следующие выражения:
-1 -1 ^ ,/ 2 р2 У/2
Wc = Wi ± ( УіУгтІЕіо + -^j- ) ,
E20 =2l Е\0\^\+V3lYf- *(уа2т\Е\0 (7.22)
Для многих практических задач наибольший интерес представляют солитоны малой длительности тс 0 с амплитудой, превышающей амплитуду волны накачки (Zs10 ^ E30). В § 7.2, 7.3 были исследованы свойства такого солитона — гигантского параметрического импульса — при вы-вырожденном взаимодействии основной волны с субгармоникой. При трехчастотном взаимодействии гигантский импульс формируется только на одной из частот, сигнальной или холостой. Чтобы лучше представить картину нелинейного взаимодействия, рассмотрим зависимость интенсивностей солитонов в их вершинах, т.е. E2q, от скорости мс. Из (7.21) легко найти следующее выражение:
E2Jo = (7/^с/7з^/с)^зо (/ = 1,2). (7.23)
Характер зависимости интенсивностей от скорости ис связан с видом относительной дисперсии волн. Графики функций (7.23) изображены на рис. 7.5, для двух случаев, различающихся знаком произведения групповых расстроек Vx3V23. Если Vi3V23 > 0, то волна накачки имеет или наибольшую, U3 > Uj, или наименьшую, и3 < Uj, групповую скорость. На рис. 7.5д представлен последний вариант. Совместный анализ (7.22), (7.23) показывает, что при сокращении длительности солитонов (гс -*¦ 0) его скорость приближается к скорости импульса в линейной среде.
114 Uc -*¦ U1, а пиковое значение интенсивности увеличивается обратно пропорционально квадрату длительности, в то время как амплитуда солитона на холостой частоте ограничена по величине:
E2I0 2/7273 г*, El О = E230J2V13I J3VX2 . (7.24)
В среде с относительной дисперсией, обеспечивающей волне накачки промежуточную скорость, например W1 < U3 < U2t произведение расстроек групповых скоростей имеет другой знак: *>13у2з < 0. Такая дисперсия позволяла, в частности, реализовать модовый режим усиления захваченных волн (гл. 4). Она благоприятна и для нелинейного реактивного взаимодействия, так как гигантский импульс в отличие от первого случая Vi3V23 > 0 может сформироваться как на сигнальной, так и на хсЗлостой частотах (рис. 7.56). Поведение интенсив но стей E2q при сокращении длительности солитонов (гс ->¦ 0) на ветви Uc U1 описывается прежними формулами (7.24), а для гигантского солитона на холостой частоте (ис и2) необходимо в (7.24) взаимно поменять местами индексы 1 и 2<
Если два связанных солитона попадают в область группового синхронизма (M1 = и2), то вместо (7.24) для гигантского импульса имеем
72Я10 = 7^20 * E30V3l(JxJ2)1I2H3Tc. (7.25)
Из (7.20), (7.24), (7.25) видно, что энергия солитона, пропорциональная IE2qTc, при наличии групповой расстройки Vi2 растет по мере сокращения длительности как Tc1, а при групповом синхронизме (vX2 =0) имеет
Рис. 7.5. Связь нормированных амплитуд трехчастотных солитонов с их скоростью ис в среде:
я -V13V23 > 0 (темный солитон на частоте со3), 6 - V13V23 < 0 (темный солитон не частоте )
8* 115 конечную величину. Насыщение энергии солитона было отмечено также для вырожденного взаимодействия волны накачки с импульсом субгармоники (см. (7.15) и рис. 7.2).
Снятие вырождения, т.е. появление групповых расстроек между всеми волнами, приводит, как мы видели, к новым зависимостям параметров солитонов от свойств среды и волны накачки. Более того, при реактивном трехчастотном взаимодействии теряется разница между волнами: любая из них может стать волной накачки. Действительно, стационарными решениями уравнений (7.19) являются следующие амплитудные профили (/ = 2, 3):
B1 = E1 о th (Tjc/Tc), Bj = Ej0 sech fac/rc). (7.26)
Видно, что на частотах W2 и о;3 формируются связанные солитоны, а на частоте OJ1 — "темный" солитон. Связь между параметрами солитонов дается соотношениями (ср. с. (7.21))
