Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
§8.1. Параболическое уравнение для пучков
и импульсов в параметрически-активной среде
Рассмотрим параметрическое усиление модулированных волн с амплитудами Ay и A2 в поле однородной волны накачки Л з = E3 о при групповом синхронизме (векторы групповых скоростей сигнальной и холостой волн имеют одинаковое направление и равные модули). Считая, что пространственные (временные) масштабы модуляции волн велики по сравнению с длиной волны (периодом колебаний), воспользуемся квазиоптическим описанием распространения и взаимодействия волновых пучков и пакетов
(§ 1.5):
ЪА, А\At
-L + IDiAlAj = -IyjE30-- U = 1,2). (8.1)
dz Aj
При анализе параметрического усиления дифрагирующих пучков оператор Лапласа в (8.1) задается в поперечных координатах: Ді= Э2/Эх2 + Э2Jby2 (для осесимметричного случая AL = Ь2 jdr2 + (1 /г) Э/Зг), коэффициент поперечной диффузий Dj = Ijlkj. В силу условия синхронизма [к3 = кх + к2) коэффициенты диффузии связаны между собой соотношением Dl1 =Di1 +D21.
Уравнения (8.1) можно также использовать для описания усиления волновых пакетов во втором приближении теории дисперсии. В этом случае Dj = —(1/2) d2kj?coj — коэффициенты дисперсионного расплывания A1 = д2 Ibri1 » 1? = t — Z/и (групповые скорости всех волн приняты одинаковыми) . В отличие от дифракции пучков коэффициенты Dj для волновых пакетов не связаны жестко, они могут иметь разные знаки и абсолютные величины. Поэтому далее мы сначала обсудим аномальное расплывание волновых пакетов, а затем дадим обзор аналогичных эффектов для пучков [1].
Из (8.1) легко получить законы дисперсии сигнальной и холостой волн. С этой целью выразим амплитуду Ai через интеграл Фурье (ср. с (2.14)) :
A1= / Afn1S1 (со, +П1)еШ'г>-/<71*2±Г2. (8.2)
Аналогичное выражение имеет амплитуда холостой волны A2. Из условия фазового синхронизма для взаимодействия спектральных компонент следует, что частоты компонент Qj и поправки к волновым числам qjp связаны простыми соотношениями H1 + П2 =Qnql2 + <721 = 0. Подставляя (8.2) в исходные уравнения (8.1) , находим дисперсионное уравнение,
119 Рис. 8.1. Контур параметрического усиления спектральных компонент (?1 = Il1 = -H2) (а) и зависимость частотной ширины полосы усиления Clc от относительной дисперсии D1 (D2 сигнальной и холостой волн (б)
решение которого позволяет определить поправки к волновым числам сигнальной и холостой волн и инкремент Г.
Контур параметрического усиления при учете дисперсии второго порядка (дисперсии групповых скоростей) имеет более прямоугольную форму по сравнению со случаем относительной дисперсии первого порядка (ср. рис. 8.1 с рис. 2.1) :
Г = Г0(1-Я?/Г2С4)1/2, Uc = (2Г0/|Лі + D2 I)1'2, (8.3)
где Oc - частотная ширина полосы параметрического усиления, на границах которой Г = 0. Если коэффициенты дисперсии сигнальной и холостой волн равны друг другу по абсолютной величине, но противоположны по знаку, Di = -D2, то, как видно из (8.3), ширина синхронизма неограниченно возрастает: Slc «>. Это случай касательного (некритического) синхронизма второго порядка, при котором коэффициент усиления постоянен для всех спектральных компонент, Г = Г0 (конечно, в рамках выбранной модели дисперсии).
В полосе усиления (JO1I < Oc) сигнальная и холостая волны имеют одинаковую дисперсию второго порядка:
<712 = -(D1 -D2)?l2i Ц. (8.4)
Вне полосы усиления (IOiI > Oc) параметрическая связь ослабевает, вследствие чего инкремент становится равным нулю, Г = 0, а для волновых чисел возникают две ветви дисперсии:
Яч = -CDi - ?2)ОЇ/2 + T0(Ot/O2 - I)1'2. (8.5)
Анализ (8.5) при больших частотных расстройках (IO1I > Oc) показывает, что ветви параметрической дисперсии переходят постепенно в ветви линейной дисперсии сигнальной и холостой волн: qj = -DjSlf. На рис. 8.2 представлены графики параметрической дисперсии сигнальной волны при
120 Рис. 8.2. Нелинейная дисперсия (сплошные линии) сигнальной волны (7), параметрически связанной с холостой (2), при различных значениях отношения D1ZDi:
штриховые линии — дисперсия в линейной среде, штрихпунктирные — обращенная линейная дисперсия холостой волны
различных соотношениях между коэффициентами линейной дисперсии Ds. Рассмотрим свойства параметрической дисперсии более подробно.
Некритический синхронизм второго порядка. Так как групповые скорости сигнальной и холостой волн согласованы в рассматриваемой ситуации, M1 - м2, фазовый синхронизм не критичен в первом приближении к перестройке частоты сигнала: qj = Qj/uj. Однако во втором приближении теории дисперсии надо учитывать характер изменения волновых чисел в зависимости от квадрата девиации частоты. Тогда нарушение фазового синхронизма характеризуется величиной Afe(O1) = (Dy + 1^)0?, которая и определяет контур усиления T(O1) (8.3). Очевидно, синхронизм становится не критичен к уходу частоты O1, если линейная дисперсия второго порядка усиливаемых волн имеет противоположные знаки,D1 =—D2. В этом случае вместо (8.3) имеем
qi = O1 Г = T0. (8.6)
121 Иными словами, при некритическом синхронизме дисперсия волн не меняется из-за параметрического взаимодействия и коэффициент усиления одинаков для всех спектральных компонент.
