Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сухоруков А.П. -> "Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике" -> 43

Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.

Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике — М.: Наука , 1998. — 232 c.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка): nelineynievolnoviedeystviya1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 91 >> Следующая


Обратимся снова к укороченным уравнениям трехволновых взаимодействий в первом приближении теории дисперсии ( § 1.5) :

ЪА, IdAj MJ . . .

--Jj--T, U = A1A2AI^AU2A3. (7.1)

bz Uj at oAj

В предыдущей главе нас интересовали взаимодействия, сопровождающиеся интенсивным энергообменом между волнами. Но при определенном соотношении между фазами волн можно реализовать принципиально другой тип взаимодействия, а именно реактивный.

Рассмотрим особенности реактивного взаимодействия сначала на примере взаимодействия плоских монохроматических волн. Так как при реактивном взаимодействии энергообмена между волнами нет, то их амплитуды не меняются с расстоянием, происходит лишь изменение их

108 фазовых скоростей или волновых чисел. Поэтому будем искать стационарное решение (7.1) в виде

Af = Ej0 ехр [/tfV - QjZ + VJy0)], (7.2)

где Slj — сдвиг относительно несущей частоты ojj, qj — нелинейная добавка к волновому числу kj, ipjQ — постоянный сдвиг фазы. Подставляя (7.2) в (7.1), находим связь между амплитудами стационарных бегущих волн и их параметрами:

(qj - Sljfuj)Ej0 = JjE1QE10Eb0, (7 j)

?3 ~ Ql +Я2, «з = ^i + ^2, <Рзо = VlO + <^20-

Простые решения (7.2), (7,3) могут служить исходным материалом для построения более сложных стационарных решений нелинейных уравнений (7.1) с помощью преобразования Бэклунда [1]. В [2, 3] обсуждается связь преобразования Бэклунда с методом обратной задачи рассеяния для трехчастотных взаимодействий волновых пакетов [4, 5].

Рассмотрим свойства стационарных волн (7.2) в отсутствие сдвигов частот (Slj = 0) [6]. В частности, интерес представляет нелинейная дисперсия волн, т.е. зависимость поправок qj к волновым числам от амплитуд Ef0. В силу соотношений (7.3) шесть неизвестных величин Qj и EjO подчиняются четырем связям. Поэтому выберем в качестве независимых переменных амплитуду высокочастотной волны E30 и отношение интенсивностей двух других волн ./V= J2E10Jy1Ei0. Тогда, разрешая соотношения (7.3) относительно других величин, получаем следующие выражения:

E210 = 7і7з-1?іо(1 +ло, E22 0 = тгтз'^зоо +jv1). (7.4)

Яг = Г0 N-1'2, q2 = iyv1/2, q3 = Г0(ЛГ1/а + N1/2), (7.5)

где Г о = (J1J2)1^2E30, JV=iT2jEi 0jj ХЕ20 .График зависимостей стационарных интенсивно стей и нелинейных добавок к волновым числам от параметра N представлены на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Зависимость интенсивностей Jj0 (а) и нелинейных добавок к волновым числам qj (б) стационарных волн от числа N ~ "YiE2i0Iy1El0 при реактивном трех-частотном взаимодействии (номера кривых соответствуют значениям / = 1, 2, 3)

109 Минимальный запас энергии волн 2?\2П достигается приTV= (72/7i) 1^2

і '

и равен ?"зо[1 + 2 (7IY2)1 ^2/7з] • Соотношения (7.3) также показывают, что замедление (?, > 0) испытывают волны, произведение амплитуд которых положительно, EX0E2OЕго > 0. Сдвиг по фазе на я у одной из них (этому отвечает отрицательная величина амплитуды) меняет характер кооперативного самовоздействия — наблюдается ускорение волн (q}- < 0).

Для исследования вопроса об устойчивости стационарных решений введем в (7,2) малые возмущения:

Aj = (?)0 +C/c,n7J»+r»i)e~'V. (7-6)

Подставляя (7,6) в (7.1) и линеаризуя уравнения по малым величинам Cj, можно затем получить дисперсионное уравнение для Гв. В общем случае оно имеет шестой порядок. Для вырожденного взаимодействия волн (а>1 = CJ2 = ^з/2, «і =м2, 7i =72) дисперсионное уравнение приобретает относительно простой вид

+(271^30 -*зіЯ)2]ГІ+47??ІО^ЗІ = 0. (7,7)

Из анализа (7.7) следует, что стационарные решения становятся неустойчивыми по отношению к спектральным компонентам с частотным сдвигом SlEiv 2 j <С 0. При этом наибольший инкремент Гвтах 550 Го имеют компоненты с Umax Fq/|j>3tl- На временном языке описания это означает появление экспоненциально нарастающей амплитудной модуляции стационарных волн с характерным временным масштабом тм ssOmax = = I V3 і |/Го. Эта величина совпадает с ткр, фигурирующей в теории генерации гигантского параметрического импульса (ср. с (6.22)). Дальнейший рост возмущений сопровождается распадом стационарных волк на серию импульсов.

§ 7.2. Солитоны при вырожденном взаимодействии

Рассмотрим теперь возможность подавления дисперсии первого порядка за счет реактивного взаимодействия модулированных волн. Квазистационарным волнам, амплитудные профили которых сохраняются, отвечают специальные решения уравнений (7.1) :

Aj = Bj(Vc), Vc = t -z/uc, (7.8)

где ис — скорость распространения, не совпадающая с групповыми скоростями пакетов в линейной среде.

Для вырожденного взаимодействия (Co1 =Oj2- 0J3/2, jj -Ji, Bi =B2) уравнения (7.1) после подстановки в них (7.8) переходят в уравнения для солитонов огибающих:

ЬВі дВг

Vlc -— = -УїВіВг, v2c—- = УіВ\. (7.9)

077с

Из (7.9) следует, что солитон существует только на частоте coj, а на удвоенной частоте CJ3 = 2 CJ1 волна не является уединенной.

110 Односолитоиное решение уравнений (7.9) при накачке на частоте Cd3 имеет вид [7]

B1 = E1 с sech 0?сАс)> B3 = E3c th (vJtc) . (7.10)
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed