Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
Помимо прямых численных решений уравнений (6.24) в ряде работ предложены приближенные аналитические методы, позволяющие упростить анализ нелинейно-дисперсионных эффектов при удвоении частоты. Один из подходов связан с учетом слабой дисперсионной некогерентносги, когда сносом энергии гармоники из основного импульса можно пренебречь, Z < 1Т\2-
В этих условиях энергообмен между волнами определяется только обобщенной фазой ц> (6.26). На первой стадии взаимодействия фазовая модуляция основного излучения іріо(0 перекладывается на волну удвоенной частоты: \р2 = 2*рю- Однако вследствие дисперсии волновые фронты перемещаются вместе с импульсами с разными скоростями: =ip,0(iji) и = 2i?io(Th)- В результате этого происходит нарушение фазового синхронизма. Предполагая, что фазы "заморожены", т.е. не меняются из-за нелинейного взаимодействия, находим в первом приближении
= 2[</>lo0?i) - + Afcz. (6.31)
В среде со слабой дисперсией эффекты группового запаздывания неярко выражены и (6.31) можно разложить в ряд по малому параметру [6] :
V = А^эфф 2, А^эфф = Afc+2vi2a<p|0/3?h. (6.32)
Видно, что в каждой точке Tj1 амплитудного профиля возникает своя эффективная расстройка А ?эфф •
Подставляя (6.32) в точное решение (6.27), полученное в квазистационарном приближении, и используя свойства эллиптических функций, можно исследовать влияние дисперсионной некогерентности (6.32) на удвоение частоты. Если эффективность перекачки падает незначительно, то, разлагая эллиптический синус в (6.27) в ряд, получаем с учетом пер-
103 вых двух членов следующее выражение для амплитуды второй гармоники:
2
A2 = E1(V1)
th _ _ ^stJ _ Aech27
(6.33)
где Z = ZIIhji(Vi) — расстояние, нормированное на квазистационарную нелинейную длину Ihii(Vi) = 1/Ті I-^1(^1) I- Переходя в (6.33) к интенсивности, после интегрирования по времени находим формулу для приближенного расчета КПД удвоителя:
Vbt = / dl7il*i(4i)la
(sh (4 Z ) \ sh т. —-F)
th z —
1 / у
ch3:
(6.34)
Формула (6.34) совпадает с выражением для КПД, полученным в [13] методом последовательных приближений, основанным на разложении амплитуд в (6.24) в ряд по малому параметру g„1. Результаты расчетов КПД удвоителя [22] при gv = 9,3 Hd1= 0,88, выполненные по (6.34) и представленные кривой 3 на рис. 6.8, с высокой точностью описывают влияние дисперсионной некогерентности.
Детальное сравнение расчетов КПД удвоителя по строгим укороченным уравнениям (6.24) и по квазистационарным уравнениям, когда в (6.24) полагается V21 = 0, с учетом эффективной нестационарной расстройки волновых чисел (6.32) для случая фазовой модуляции основного импульса вида ^J0 = (?оехр(— 2г2/Т() выполнено в [7]. Обнаружено хорошее согласие (в пределах нескольких процентов по КПД) данных численных экспериментов. Однако отмечается, что если в квазистационарном приближении профили импульсов имеют симметричную форму, го с учетом сноса энергии огибающие становятся несимметричными, В [23] для расчета КПД использовалось разложение эллиптического синуса в (6.27) в ряд по гармоникам кратных периодов.
При умеренной перекачке энергии истощение импульса накачки можно учесть методом возмущений, полагая
A1 = E1(V1)^a1(VltZ), (6.35)
где «і - малая поправка к заданному полю вследствие слабой обратной реакции гармоники. Подставляя (6.35) в (6.1) и линеаризуя уравнения по малой величине Ot1, получаем уравнение второго приближения
Sa1 1 да j
dz "1 bt
дA2 1 ЬА2
dz U2 Ы
і Akz
= -i72[E\(vi) + 2E1(v1)a1]eiAk:
(6.36)
Исключая из (6.36) Ac1, находим упрощенное уравнение Э2A2 t дА2
+ IAkv2] —— + 2717?*?! IE1(V1)I2 A2 = 0, (6.37)
dv2 dvi
104 которое было получено в [12] несколько другим способом. Так как в (6.37) входит только профиль интенсивности импульса накачки, го это приближение получило название приближения заданной интенсивности.
При согласовании групповых скоростей (6.37) переходит в уравнение
Ld2 _ .Ak J^ + 27i72\Ех(Пі)\2А2 = 0, (6.38)
bz2 bz
которое с учетом граничных условий (6.2) имеет решение
A2 = -H2E21(V1)Z sine [(27i72 I^i I2 + Д*a/4)1/az]e'A**'2. (6.39)
Сопоставление (6.39) с точным решением (6.27) позволяет установить область его применимости. В частности, при ДА; = 0 им можно пользоваться на расстояниях z < /нл, когда КПД не превышает 50 %. Это ограничение на КПД остается и при учете V12 (6.37). В нестационарном случае решение (6.37) можно найти методом Римана (ср. с §4,1,5.1) [12].
Следует отметить, что Представленные результаты по теории генерации второй гармоники ФМ импульсами в диспергирующей среде можно использовать согласно пространственно-временной аналогии для анализа эффективности удвоения частоты мощными расходящимися пучками при практическом синхронизме, когда лучевые векторы гармоник неколли-неарны. Сносу энергии второй гармоники из импульса накачки отвечает пространственный снос энергии из пучка основного излучения.
§ 6.5. Общие закономерности
нестационарных трехфотонных взаимодействий
Нестационарные эффекты при взаимодействии грех волновых пакетов более разнообразны, чем вырожденные по частоте случаи генерации второй гармоники или субгармоники, В отсутствие относительной дисперсии волн, т.е. при равенстве всех групповых скоростей друг другу, нелинейное взаимодействие носит квазистационарный характер. Здесь остаются в силе решения укороченных уравнений (6.27), полученные для плоских монохроматических волн [21]. Необходимо только в них считать начальные амплитуды и фазы функциями характеристической координаты V= t-z/u.
