Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
Связь между амплитудами солитонов, их длительностью и групповой скоростью дается соотношениями
= УЇЕісТІ, Vic = Ті^зс^с. (7.11)
Проведем обсуждение полученных результатов. Как видно из (7.10), на частоте ojj распространяется уединенный импульс — солитон, амплитуда
Рис. 7.2. а ~ Профили интенсивности солитонов на частотах W1 = wa (1) и = = 2CJ1 (2); б - зависимости энергии WjcH интенсивности Zjc(O) "светлого" солитона от его длительности Tc
которого плавно спадает до нуля при отходе от его вершины, B1^-O при I Vc I 00• Профиль интенсивности солитона представлен на рис. 7.2а (кривая 1). На удвоенной частоте амплитуда волн B3 меняется в области взаимодействия с солитоном В\ с уровня -E3c на EЗс; перемена знака амплитуды означает изменение фазы волны накачки на тг.
Решение (7.10) для второй гармоники в виде гиперболического тангенса можно интерпретировать как образование стационарной "ступеньки" или "доменной стенки" в распределении амплитуды. Однако если регистрировать не комплексную амплитуду, а интенсивность волны, то этому решению можно придать другой, более глубокий физический смысл. Действительно, интенсивность высокочастотной волны можно представить в виде
B23 = Е\с — E3c sech2(i?c/rc). (7.12)
Оказывается, что на фоне волны постоянной интенсивности E3c в области взаимодействия образуется* "темный" солитон (он представлен на рис. 7.2а кривой 2). Он имеет точно такую же форму, как и солитон на частоте со,, только опрокинутую вниз. Таким образом, в среде с квадратичной нелинейностью и с дисперсией первого порядка образуется связанная пара "светлого" и "темного" солитонов на основной и удвоенной частотах соответственно.
Скорость солитонов определяется соотношениями (7.11) . Видно, что она или больше, или меньше групповых скоростей U1, и3, так как обязательно должно выполняться условие у і с^Зс ^ 0. Исключая из (7.11) групповую
111 скорость солитонов ид, можно найти связь между амплитудами:
Я? с = E23c^v3lE3Jy1Tc. (7.13)
Амплитуда субгармоники Elc превышает амплитуду волны накачки E3c при условии V31E3с > 0. При положительной амплитуде E3c такой солитон, названный в гл. 6 гигантским параметрическим импульсом, имеет большую скорость, чем волна накачки. Это обеспечивает, как видно из (7.1) и (7.9), параметрическое усиление фронта солитона. Хвост солитона формируется благодаря механизму нелинейных потерь при генерации второй гармоники. С учетом сказанного огибающую солитона B1 можно записать вместо (7.10) по-другому:
B1 = Е3(1 + ткр/тс)1/2 sech(Tjc/rc), (7.14)
где ткр = V31IfiEic — критическая длительность солитона (см. также (6.22)). Выигрыш в амплитуде субгармоники (Elc > E3c) имеют солитоны, длительность которых меньше критической, Tc гкр. Энергия солитона (7.14) равна
Wlc = 2Е3с(тс + rKp) . (7.15)
Для сверхкоротких солитонов (тс -4 гкр), как видно из (7.15), энергия достигает насыщения: Wltt = 2?зсткр. Графики зависимостей амплитуды и энергии солитона от его длительности представлены на рис. 1.26. Скорость солитона малой длительности сравнивается с групповой скоростью движения пакета в линейной среде: ыс ^u1.
Солитон (7.10) может сформироваться при параметрическом усилении субгармоники в поле волны накачки постоянной амплитуды E3(ґ) =E30. Для описания нелинейной стадии параметрического усиления, когда, собственно, и формируется солитон, можно воспользоваться формулой (6.22) для амплитуды субгармоники:
Ai = E,(4,)[exp(-r0z) + (Tkp^230)"1 sh (Г0г) X
X Jd%E\(i)x -6)exp(-2*/r )]"1. (7.16)
о
Пусть на входе в нелинейную среду сигнал имеет экспоненциальный фронт:
E1 =E1 Oexp(^T1)f t < 0. (7.17)
Подставим (7.17) в (7.16) и рассмотрим поведение импульса в области большого усиления (T0Z > 1), полагая sh(r0z) « ехр(Г0г)/2. Проведя интегрирование в (7.16), получаем следующее выражение для амплитуды субгармоники:
A1 = E30(l -і- ticpIr j УI2 sech-1 [т?! /T1 +T0(Z-Zc)], (7.18)
где
Ic = (Ц2)Г01 In [ЦІ+TkpIt1)El0/E]0] ~ длина формирования солитона.
112 С помощью (7.18) можно проследить основные этапы взаимодействия импульса субгармоники с непрерывным излучением накачки. На рис. 7.3 показаны амплитудные профили волн на разных расстояниях z. В области Z < Z1 = /нл In (?30/^10) идет линейный режим усиления, в конце которого амплитуда субгармоники достигает уровня накачки: А і (0) = E30. Если крутизна фронта импульса мала (г і > гкр), то Z1 Ic и дальнейший рост максимума амплитуды, как видно из (7.18) , прекращается; на нелинейной стадии заканчивается формирование хвоста импульса. Импульс субгармоники с крутым фронтом (T1 <ткр) продолжает экспоненциально усиливаться и в области z > Z1 вплоть до расстояний z На этом отрезке пути в нелинейной среде пиковое значение амплитуды возрастает от E30 до ?30 (1 + ткр/T1)1^2 за счет быстрого отбора энергии при набегании фронта субгармоники на "свежую порцию" волны накачки.
§ 7.3. Свойства трехволновых солитонов
Солитоны огибающих волновых пакетов формируются и в общем случае трехчастотных взаимодействий, когда существует расстройка между всеми групповыми скоростями [8]. Полагая, как и ранее, амплитудные профили стационарными (7.8), не меняющимися с расстоянием, находим из (7.1) уравнения для солитонов (/ =1, 2):
