Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
Наиболее наглядно формирование квазистационарных импульсов можно показать при групповом синхронизме для слабых волн (и2 = w3). В отсутствие фазовой модуляции волны накачки уравнения (5.1) имеют простое точное решение [1]
A3 = -I(J3H2)1 l2E2Wio, A2^E2COSO, (5.8)
где величина
tJ1
O=(J2J3)11WI I d%Ey(%) (5.9)
TJ1-VslZ
пропорциональна определенной части площади амплитудного профиля низкочастотного импульса. Зададим на входе в среду непрерывный сигнал E2 = E20, который затем возбуждает суммарную волну, трансформируясь при этом и сам.
Особый интерес для нас вызывает область, лежащая за групповой длиной, Z > lTКак видно из (5.9) в пределах импульса накачки можно устремить нижний предел интегрирования в (5.9) к бесконечности: 1I1
о~ (J2J3)1^2V3I Jo dt E1(S). (5.10)
Очевидно, при этом огибающие связанных волн (5.8) принимают квазистационарную форму. Из анализа (5.8) с учетом (5.10) следует, что если полная площадь импульса кратна числу тг,
о(») = итг («= 1,2,3,...), (5.11)
то амплитуда суммарной волны A3 вне импульса накачки (| Tj11 > T1) равна нулю — возбуждаемый импульс как бы запирается внутри импульса накачки (рис. 5.1):
M3I2 =(73/70?losin2[w7ra(Th)/o(->)]. (5.12)
82 Ij
V \ \
2п
Ъ/т1
м \ \
Зп/2
___
V7V
Ъ/%
Рис. 5.1. Огибающие тг- и л/2-импульсов на суммарной (5) и разностной (2) частотах в поле мощного импульса низкочастотной волны накачки (/) при дисперсии v.. v^, >0
На частоте входного сигнала формируется темный квазисолитон
I^2I2 = El0{l -sin2 [/^afo1 )/а(~)]>. (5.13)
Если площадь импульса сделать кратной тг/2, о(°°) = тг (1/2 + п), то сигнальная волна не пройдет через импульс накачки, она полностью отдает свою энергию возбуждаемому импульсу суммарной частоты, длительность которого увеличивается как [ V13| z (рис. 5.1).
Характерные этапы формирования квазисолитона при неравных групповых скоростях связанных волн (U2 Фи з) показаны на рис. 5.2. Видно, что в переходной области помимо тг-импульса, идущего со скоростью волны накачки M1, образуется пакет, удаляющийся (от импульса волны накачки) со скоростью U3. Его длительность порядка T1V32IV21.
ФтЗі-7
в */Д>
Рис. 5.2. Стадии формирования я-импульса на суммарной частоте u>3 при взаимодействии непрерывного излучения сигнала с гауссовым импульсом низкочастотной волны накачки при ^3, = Iv2, , о («> ) = я
6*
83 Для нахождения квазистационарных огибающих связанных волн необходимо решить уравнения (5.7), полагая VilVil > 0 и задавая амплитуды волн при Ui > Uj вне импульса накачки в виде A3(T)i = — = О, А2(т?і = — =E2. В результате несложных вычислений находим
Лз =-^(73^1/72^1)^^28^(7(771), A2 =E2Coso(Til), . (5.14)
где нормированная площадь импульса накачки
tJ1
^і) = (727з/кзі^2іІ)1/2 / (5.15)
-QO
При равенстве скоростей связанных волн (и2 = и3) (5.14), (5,15) перехо дят в (5.8) с учетом (5.10). Поэтому свойства квазисолитонов (рис. 5.1) остаются прежними, только площадь амплитудного профиля надо лодсчи тывать по более общей формуле (5.15).
Следует отметить, что в поле ФМ импульса накачки параметрическое взаимодействие сильно усложняется [7]. Как показывают численные эксперименты, и в этом случае на больших расстояниях связанные волны приобретают квазистационарные профили. Однако их форма не такая простая, как в отсутствие фазовой модуляции. Они как бы изрезаны с временным масштабом, определяемым величиной частотного заполнения импульса накачки. Квазистационарные профили можно найти, решая (5.7) для прямоугольного импульса с линейной модуляцией частоты Ei = = E10exp(iSl0t2 Jt1) и для колоколообразного импульса с квазилинейной
модуляцией частоты E1 = E10ch~1+2/dl ^jr1). В обоих случаях решение выражается через гипергеометрические функции. Из-за громоздкости анализа полученных формул мы опускаем их обсуждение.
Таким образом, в нелинейном режиме преобразования частоты при дисперсии групповых скоростей такой, что V31V21 >0, можно радикально менять форму возбуждаемого импульса и его энергию, варьируя площадь импульса накачки (параметр ст(°°)), Генерация тг- и тг/2-импульсов представляет интерес для построения некоторых логических элементов волнового типа.
§ 5.3. Формирование квазистационарных фронтов связанных волн
В среде с дисперсией V2iV31 < 0 низкочастотный волновой пакет распространяется с промежуточной групповой скоростью, например U2 < < U1 < и3. Выявим прежде всего форму квазистационарных амплитудных профилей. На фронте импульса отсутствует медленная волна суммарной частоты, A3(T)i - —00) = 0, а на его хвост набегает квазинепрерывный сигнал A2(T)1 = = E20. Решение уравнений (5.7) при указанных граничных условиях имеет теперь качественно другой вид, чем в среде с дисперсией ^21V3I >0 (5.14), (5.15):
A3 = ~i\J3V31H2V2 /2^20Sha(TJ1)Zcha(Oo), ^
A2 =E20Cho(Tj1)Zcho(^)i где O(T)1) определяется прежней формулой (5.15). 84 Анализ выражений (5.16) показывает, что при преобразовании частоты встречных волн (по отношению к импульсу накачки) они имеют гладкую форму. Если нормированная площадь импульса накачки велика, а(°°) > 1, то наблюдается насыщение стационарной амплитуды на уровне
