Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
Гм = - 2Г01 V1 з V2 з 1:1 ¦I2(уj з + I V1 з IГ1 cos Ъ, (4.45)
и амплитудного профиля: Дім =^ImSHI
ОН)!
ехр
ГМ(Р2 3 "I Vl ЗІ) 21 v13v23\
Vz
(4.46)
где ключевой параметр Ъ находится из трансцендентного уравнения
(sin b)/b = ±Hgv. (4.47)
Последнее уравнение дает при превышении определенного порога по параметру gv набор собственных значений Ьр. Из них для модового режима усиления отбираются те, для которых Гм > 0 (4.45). Возбуждение мод начинается при условии cosfcp = 0, откуда следует выражение для порога в поле прямоугольного импульса:
fonop=*0/2 +р). (4.48)
При большом усилении на средней групповой длине (gv > 1) из (4.47) имеем Ъ = 7г(1 + р) ДЛЯ всех МОД ВПЛОТЬ ДО номера P ^gvIlT', при этом инкремент Этих мод равен квазистационарной величине, Гм = Г0, а их длительность равна т3, но высшие моды имеют гармоническую модуляцию
- COS [7г(1 + р) 173 /т3 ]. Таким образом, сравнение представленных выше двух случаев формирования параметрических мод в полях колоколообразного импульса накачки и с прямоугольным профилем показывает, что неоднородность распределения амплитуды накачки в большей степени влияет на огибающие модовых сигналов и в меньшей степени на их инкременты. Поэтому найденные формулы для инкрементов (4.39), (4.45) можно использовать для оценки модового усиления в поле импульса накачки с другим амплитудным профилем, например с гауссовым. Следует специально отметить еще одно важное обстоятельство. Расчеты характеристик параметрических мод в поле колоколообразного импульса накачки (4.39), (4.40) можно использовать и в неконсервативных случаях, когда коэффициенты нелинейной СВЯЗИ ВОЛН Jj в (4.1) являются комплексными величинами. С такого рода задачами сталкиваются при исследовании распространения радиоволн в ионосфере [19].
Порог возникновения параметрических мод. В произвольном случае модуляции импульса накачки E3(Tj3) найти структуру параметрических волн не удается. Однако в недиссипативной среде (8;- = 0) можно вывести общую формулу для порога модового усиления. Полагая в (4.37) Гм = 0 и
73 считая импульс накачки спектрально-ограниченным (фазовая модуляция отсутствует), находим простые решения [20]
BlM=ElMcosG, B2m =JE12MSinG, (4.49)
где функция усиления равна
G=gv ^Ja (4.50)
-OO
На фронте импульса накачки нет холостой волны. Модовый режим реализуется, если и сигнальная волна имеет нулевую амплитуду на противоположной стороне, т.е. на хвосте при г)3 = + <». Этому условию отвечает нормированная площадь импульса накачки, кратная тг/2:
Swiop /^3(8/^30^(1/2+0). (4.51)
Полученная формула охватывает как частные случаи рассмотренные выше законы модуляции импульса накачки. Так, для колоколообразного импульса (4.9) из (4.51) следует (4.41). Гипергауссов импульс накачки E3 = ^30ехр (-г"/тэ") возбуждает моды при превышении следующего порога:
*,пор = (*W)r(l/JV) (2 р + 1), (4.52)
где Г — гамма-функция. Полагая N = 2, находим порог в поле гауссова импульса: Svnop = у/тт (1/2 + р); устремляя N -*¦ имеем для прямоугольного импульса ^nop = я(1/2 + р) (см. (4.48)).
Влияние поглощения и волновой расстройки на структуру мод можно проследить, если умножить амплитуды Вг-М на экспоненциальные множители (см. преобразование в § 2.7):
В1ы =^iMexpIZtt1(Afc)Tj3 +И?іГ + (8а -S1)7]3j\v12\ -
- (S11 ^2 з I S21 з I)2/1 ^1 2 I ] > (4.53)
где сдвиг частот, связанный с компенсацией волновой расстройки, = = Akjv12 (^2 - —ПРИ этом соответствующим образом изменяются волновые числа мод. Перестройка частот при усилении волновых пакетов отмечалась и при параметрической диффузии волн (§ 2.7).
Рассмотрим с помощью (4.53) роль поглощения слабых волн при абсолютной неустойчивости волнового пакета накачки. Во-первых, дисперсия коэффициентов поглощения (S1 Ф S2) вносит асимметрию в амплитудные профили мод. Вершины захваченных импульсов смещаются1 в сторону сноса волны, имеющей меньший коэффициент поглощения. Во-вторых, диссипация уменьшает инкременты модового усиления:
ГМ(5) = ГМ -SM, SM = Stv13/v12+S2v23jv21. (4.54)
При симметричном сносе (v3l = -V32) средняя скорость совпадает со скоростью основного импульса, мср =W3, и снижение инкремента зависит от среднеарифметического значения коэффициентов поглощения Sm = = (S1 + 52)/2. Если энергия одной из волн сносится намного больше,
74 чем другой, например 1 i>i 3| > 10 модовый коэффициент затухания 5М определяется именно этой уходящей волной.
Формирование параметрических мод. Процесс выхода нестационарного усиления на модовый режим прослежен в ряде работ [6, 21]. В отсутствие фазовой модуляции волны накачки (d3 = 0) гипергеометрическая функция (4.15), определяющая функцию Римана R в (4.7), для целочисленных значений параметра gv представляется в виде конечного ряда по аргументу и. Так, для gv = 1 имеем/? = 1 и интегрирование (4.7) существенно упрощается. На рис. 4.6 показаны результаты расчетов нестационарного параметрического усиления для gv - 1 (это выше порога в два раза) и симметричного сноса, p31 = — V32- Представлены зависимости длительностей усиливаемых пакетов и положения их вершин от расстояния в нелинейной среде. Видно, что за групповой длиной /т13 устанавливаются стационарные значения указанных параметров мод. Несложно выполнить подобные расчеты и для gv = 2, 3, 4,... Но при большом превышении порога > 1) число членов ряда растет и расчеты, естественно, усложняются.
