Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
§ 4.1. Точные решения связанных уравнений в форме Римана
Метод Римана упоминался в предыдущих двух главах в связи с обсуждением нестационарных эффектов при параметрическом усилении и преобразовании частоты в однородном поле волны накачки (2.7), (2.8), (3.6) и в поле фазово-модулированной волны накачки с постоянной интен-
60 сивностью (2.32). Ниже метод Римана будет изложен более детально в самом обшем случае.
Взаимодействие слабых волн с частотами W1 й W2 в заданном поле волнового пакета с несущей частотой W3 = W1 + ш2 при наличии групповых расстроек описывается системой двух связанных уравнений для комплексных амплитуд (ср. с (2.1))
aAi bAj /A1A2Y
Г1 + vV -Г- = -<Wr?3)( ^Ta ) + Ni(Vз. *) (4.1)
dz Oij3 \ Aj /
с граничными условиями Aj(z = Q)=Ej(t) (/=1,2). (4.2)
В (4.1) введены объемные источники слабых волн с амплитудой Nj. Как правило, они обусловлены тепловыми или другими флуктуациями волновых полей. Следует подчеркнуть, что в (4.1) не включены члены, описывающие фазовую расстройку Ak и поглощение волн (ср. с (2.53)). Их можно учесть в окончательных выражениях для амплитуд с помощью процедуры, предложенной в § 2-7.
При исследовании распадной неустойчивости электромагнитной волны в плазме вместо граничной задачи (4.1), (4.2) решается задача с начальными условиями Aj (t = 0) = Ej (г) [1—3]. В соответствии с этим при выполнении процедуры укорачивания волнового нелинейного уравнения амплитуды волн полагаются функциями Aj (/, r?3). В итоге поведение волновых пакетов описывается уравнениями
+ UjVj3-Tj- - HjnjC'1 Eъ(пъ)[—~) + Nj(t, Tb). (4.3)
Ы ' " Эт?
Сравнение (4.3) с (4.1) показывает их полную математическую идентичность. Поэтому все результаты, полученные для (4.1), применимы к (4.3) и наоборот.
Сведем систему двух уравнений (4.1) к одному уравнению гиперболического типа, исключив, например, амплитуду A2 и переходя от переменных Tj3, г к характеристикам слабых волн Tj1 и Tj2:
ЬгАх Ъ\пЕ3 M1
—г— -—- -- + TiT2 I E3I2vl22Ai =
OV1 OTh OTJ1 OTJ2
= -Pi2 —— N1 + P121 -1 - J1E3Vf22N2. (4.4)
OTJ1 OTJ1
Граничные условия (4.2) задаются теперь на пересечении характеристик
TJ1 =TJ2.
Сложность нахождения точного аналитического решения (4.4) состоит в учете модуляции волны накачки
/ vI з з \
E3(Vz) = E3 (- TJ1 + -T22J (4.5)
V V2 1 Pl2 /
при произвольном соотношении групповых скоростей.
61 Для нахождения решения (4.4) воспользуемся методом Римана, согласно которому необходимо сначала найти функцию, удовлетворяющую однородному гиперболическому уравнению (ср. с (4.4)) [4]
Ъ2Я
Hx Hi
H2
In
Лг)
.?З(ііД2) J
bR
+ TiT2^i? I^3(IiJ2) I2 ^=O
(4-6)
с граничными условиями на характеристиках
Щх = ^i) =h R(b = т?2) = 1.
Функция Римана R зависит только от вида модуляции волны накачки и расстроек групповых скоростей, представленных в форме (4.5). По сравнению с исходной постановкой задачи (4.1), (4.2) видно существенное упрощение как самого уравнения, так и граничных условий для него.
При параметрическом возбуждении слабых волн различают режим усиления бегущих волн, падающих на переднюю границу нелинейной среды с амплитудами Ej (сторонние силы отсутствуют, Nj = 0), и режим вынужденного рассеяния на флуктуациях Nf Ф 0. Однако и падающие на среду волны также могут быть некогерентными. Например, параметрическое усиление оптических квантовых шумов можно трактовать как параметрическое рассеяние света [5].
Функция Римана выполняет роль функции Грина. Граничные условия (4.2), объемные источники Nj, расстройка волновых векторов ДА:, коэффициенты затухания 5/ учитываются уже в самом решении, имеющем интегральное представление. В случае параметрического усиления волн, заданных на передней границе нелинейной среды, решение (4.4) выражается через функцию Римана R следующим образом:
ч» , bR
Ax = E1 (Th) - / Ех$)Ег(пх, О^з'Ч^П
ti =ta=f
TJ1
+ HivX-I f dt E2-a) E3(Vl, t)R( Vi, V2A Л).
V2
(4.7)
При действии объемных источников волн решение (4.4) также представляется в квадратурах:
J1 Uifti, I»)-
TJ2
A1 = V211
, bR
- f dfctfiGbfc^afoi.M^Gi.fe) — +
Ъ Hx
Il
+ n^i? / d^1N2*(i1^2)E3(v1^2)R(Vi,V2^x^2) U
(4-8)
Формулы для расчета амплитуды холостой волны A2 можно получить из (4.7), (4.8) с помощью циклической замены индексов 1 * 2. Если выполнить переход к новым амплитудам согласно преобразованиям (2.55),
62 (2.56), то можно учесть в решениях (4.7), (4.8) расстройку волновых векторов и поглощение волн.
Таким образом, мы получили интегральное представление амплитуд слабых волн при их нестационарном параметрическом усилении. Решение задачи состоит в отыскании функции Римана, удовлетворяющей-гиперболическому уравнению (4.6). Для произвольного закона амплитудной и фазовой модуляций волны накачки при наличии обеих групповых расстроек (Uj3 Ф 0) функцию Римана найти не удается. Однако можно указать ряд весьма важных случаев, когда проблема оказывается разрешимой.
В гл. 2 при обсуждении параметрической диффузии волновых пакетов приведены функции Римана для волны накачки с постоянной амплитудой (2.7) и при наличии линейной частотной модуляции (2.32). Большие трудности представляет учет амплитудной модуляции высокочастотной волны.
