Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
При большом усилении между сигнальной и холостой волнами образуется сильная параметрическая связь, вследствие чего они ведут себя одинаковым образом. В этих условиях при нахождении решений можно использовать вторичное укорачивание (4.1) по аналогии с упрощением самих волновых уравнений. Одним из асимптотических методов вторичного укорачивания служит метод параболического уравнения (§ 2.1), примененный нами для описания параметрической диффузии связанных волновых пакетов на сигнальной и холостой частотах в поле модулированной волны накачки. Этот метод был распространен на неоднородную накачку [23]. Однако уравнение диффузии (2.13) для парциальных амплитуд при учете амплитудно-фазовой модуляции импульса накачки значительно усложняется. Это, в частности, обусловлено изменением эффективной групповой скорости связанных волн в процессе усиления: в режиме параметрической диффузии она равна средней величине (2.3), а при захвате в модовый режим — групповой скорости основного импульса. Ряд результатов при анализе нестационарных параметрических эффектов получен с помощью интегрального преобразования Лапласа по продольной координате Z, что позволяет перейти от уравнений с частными производными (4.1) к обыкновенным дифференциальным уравнениям [21, 24]. При вычислении интегральных выражений для амплитуд слабых волн также приходится прибегать к асимптотическим методам.
77 Кроме перечисленных разработаны и некоторые другие асимптотические методы. Один из них перекликается с методом геометрической оптики неоднородных (или нестационарных) сред [25]. Роль волнового числа здесь переходит к стационарному инкременту Г0, характеризующему связь волн в (4.1) и темпы экспоненциального роста амплитуд сигнальной и холостой волн в отсутствие дисперсии и модуляции волны накачки (2.5). Представим амплитуды усиливаемых волн в виде рядов, соответствующих разложению парциальных амплитуд по обратной величине инкремента Г0:
Ai= Ъ (ГоГрЛ/рехрС. р = о
(4.56)
Подставим (4.56) в (4.1) и соберем члены одного порядка по величине Г0, считая коэффициент усиления G пропорциональным Г0. Тогда получим цепочку уравнений, соответствующих различным порядкам приближения. Выделение главных членов дает уравнение для коэффициента усиления:
BG OG
---= -Yi72Vi22E23(T)3). (4.57)
Эть дг}2
Если собрать члены, пропорциональные первой степени Г0, получаем аналог уравнения переноса:
9G ЭА
хо
Эг?1 Зт?2
dG Эт? 2
дЛІО diji
+ А
"'H1
9G Эт?2
3 Inif3 Эт?,
= 0. (4.58)
Видно, что сначала надо отыскать функцию G (4.57), затем Aui (4.58) и т.д. Уравнение (4.57) решается методом характеристик, и в случае задания нулевого граничного условия G(z =0) =0 находим
G= I(IiJ2)112 / rf* Я32ф H2^I(TJ0) + ^13P2 эЯ|(8Г1/а,
TJ2
где TJ0 — параметр, связанный с Vj и z соотношением
Z = Pl(T?3 -Т7о)-РІ2
+л
Vi2 +Avi3V23
Ei(TIo) \
-1/2
(4.59)
(4.60)
Используя (4.59), (4.60), решаем уравнение "переноса" (4.58) (полагая для простоты отсутствие фазовой модуляции накачки):
A210 =Ei(Vo)Vil
,і Эт?о
bz
1 -Vi2Ivl2 +4p13p23
EKv э) El(Vo)
-1/2
(4.61)
Рассмотрим несколько конкретных примеров. В качестве первого возьмем случай длинного импульса накачки (нестационарные эффекты "по накачке" отсутствуют). Подставляя в (4.59)-(4.61) E3 = E30, получаем
A1 =AiIv3 -(vi3+v23)z[2]er'zt (4.62)
78 т.е. импульс распространяется со средней групповой скоростью и испытывает стационарное экспоненциальное нарастание. Как и следовало ожидать, в приближении "геометрической оптики" импульсы сигнальной и холостой волн не расплываются.
Используем теперь выражения (4.59)-(4.61) для описания нестационарных эффектов, обусловленных модуляцией волны накачки. При групповом синхронизме между сигнальной и холостой волнами (у12 =0) из (4.60) имеем tJo — Tfi, а из (4.61) находим
A1 -Al(TJi)eXp [(Tl72)1/? $d%E3(%)], (4.63)
что находится в согласии с результатами § 4.2.
Покажем, наконец, применение асимптотического описания в анализе модового усиления. Полагая для простоты з = — V23, получаем в случае колоколообразного импульса E3 =?'30sech(r/r3) следующее выражение для амплитуды сигнала:
Ch(TjWr3) I1/2
A1 =Et о
X
L Ch(Zflrl3) [Sh2(Zflrl3) +Ch2(T)1 !т3)У 11
sh(z//T! з) + [sh2 (zfl7l з)+Ch2 (т?3 /г3)]1 ->2
Ch(Tf3Ir3)
X
(4.64)
где gv определяется прежней формулой (4.17). На больших расстояниях Z Wt J3 решение (4.64) переходит в основную моду (4.42):
exp(-Tj3/2r3) А і = у/2 E10 ————— ехр ch (tj3 (т3 )
(4.65)
Таким образом, из рассмотренных примеров видно, что аналог метода геометрической оптики неоднородных сред описывает основные черты нестационарного параметрического усиления. Здесь он изложен в простейшем варианте для длинных сигнальных импульсов, E1 = E10. Параметрическую диффузию волновых пакетов можно исследовать в рамках асимптотического разложения (4.56), если перенести граничное условие Ax(z =0) в коэффициент усиления, полагая G(z =0) = In [E1 (I)IE10]. В случае быстрой модуляции накачки, в частности фазовой (d3 Ф 0), необходимо включить в уравнение для коэффициента усиления (4.57) член, пропорциональный производной амплитуды накачки. Следует отметить, что асимптотические методы можно использовать также для построения функций Римана. ГЛАВА 5
