Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
§ 6.1. Точное решение укороченных уравнений
при когерентном двухчастотном взаимодействии
Рассмотрим вырожденный по частоте случай трехволнового взаимодействия, когда со2 = 2CO1. Он описывает генерацию второй гармоники или первой субгармоники. При фазовом синхронизме (Дк = 0) и при отсутствии начальной фазовой модуляции волновых пакетов их амплитуды
90можно считать действительными величинами. В таких условиях взаимодействие двух пакетов описывается укороченными уравнениями
M1 1 ЪА\ ЬЛ2 1 ЬА2 — + - — = J1A2A1, — +--— = -ухА\ (6.1)
OZ U1 dt dz U2 8f
с граничными условиями
A1(Z = V) = E1(T), A2 (z = 0)-E2(t). (6.2)
В отсутствие относительной дисперсии, т.е. при групповом синхронизме (M1 =и2), уравнения (6.1) легко решаются в общем виде
A1 = E1(V1)IchG-E2(V1)El12(Til)^G]-1, А 2 = [E2 (V1) ch G - E12 (V1) sh G) [ch G - E2 (v,) ЯГз Oh ) Л G J'~11,
где E212 = ^1(Tj1) + E2(Vi) — суммарный профиль интенсивностей волн на входе в нелинейную среду, G = J1E12(V1)Z.
В случае возбуждения второй гармоники E2 - 0, E12 = E1 и из (6.3) следуют известные выражения [15, 21]
A1 =E1 Sech(Y1^1Z), A2 = -E1Xh(J1ElZ), (6.4)
показывающие принципиальную возможность полного преобразования энергии из основной волны в излучение на удвоенной частоте. Неоднородное распределение амплитуды входного сигнала E10(t) замедляет теми преобразования энергии.
При распадной неустойчивости интенсивной волны с амплитудой E2 P-E1 (при этом E12 ^ E2 + E2IlE2) амплитуда субгармоники меняется по закону
A1 =E1 [Bxp(^y1E2Z) + (1/2) (E\IE\)MJiE2Z)Y1 . (6.5)
На длине Zq - (ухЕ2) 1In(2E2/Ei) она достигает максимума Almax ^5 E2, а затем при z > Z0 уменьшается, так как начинается обратный процесс — генерация второй гармоники волны субгармоники, т.е. волны накачки.
При наличии дисперсии (U1 Ф и2) взаимодействие волновых пакетов протекает значительно сложнее. Система (6.1) принадлежит классу уравнений Лиувилля, имеющих общее аналитическое решение. Действительно, введем функцию ф, через которую выразим амплитуды Aj (V1 , т?2) следующим образом:
A1 = Е0ехр(тф!2), A2=(J1ElIv12)WIbv2, (6.6)
где т = 2y\E0lv\2, ту = t — zjuj - характеристики. При этом первое из уравнений (6.1) удовлетворяется тождественно. Подставляя (6.6) во второе уравнение, приходим к уравнению Лиувилля [4, 16]
Ь2ф
-—-— = ехр(тф). (6.7)
bVi OTJ2
91Оно имеет обшее решение, которое при учете (6.6) дает выражение для амплитуды волнового пакета с несущей частотой CJ1:
— 4Jate-">«>Y\ (6.8) \ 2 h /
где Z1 и /2 - произвольные функции, h — произвольная константа. Подставляя (6.8) в (6.1), можно найти формулу для расчета амплитуды второго пакета A2. Однако на практике воспользоваться точным общим решением (6.8) довольно сложно. Дело заключается в том, что при решении конкретных задач произвольные функции Z1 и /2 определяются из граничных условий (6.2). В результате получаются дифференциальные уравнения для fy и /2, решение которых при произвольно заданных начальных амплитудных профилях волновых пакетов Ej найти не удается.
Более наглядный путь интегрирования (6.1) заключается в сведении его к линейному уравнению [9—11]. С этой целью сначала исключим из (6.1) амплитуду A1:
д 2A2 ЬА2
vxi-——= 2ухА2 — - (6.9)
OVl 0772 OV1
Очевидно, (6.9) можно проинтегрировать по характеристике Vx» получая
ьа2
»12 — = Ti A22-F(V2)- (6.10)
Э 772
По-существу, это дифференциальное уравнение первого порядка с обыкновенной производной — уравнение Риккати, Если теперь из первого уравнения (6.1) подставить в (6.10) амплитуду A2, то получаем для A11 линейное дифференциальное уравнение второго порядка
B2A _1
—TT = УI^22F(V2)AV . (6.11) dv2
Функцию F(t?2), входящую в (6.10), (6.11), легко найти из граничных условий (6.2) с учетом (6.1):
ЬЕу
т = 7i??(f) + Tl ¦ (6.12)
Ot
Следует отметить, что решение Лиувилля (6.8), как нетрудно проверить, удовлетворяет (6.11)..
Метод линеаризации задачи о взаимодействии двух волновых пакетов при фазовом синхронизме, но при наличии расстройки групповых скоростей, позволивший перейти от квазилинейных уравнений с частными производными (6.1) к линейному уравнению с обыкновенной производной (6.11), предшествовал разработке более общего метода нахождения точных решений в случае взаимодействия трех волновых пакетов с комплексными амплитудами (фазовой модуляцией) — метода обратной задачи рассеяния. Описанию метода обратной задачи посвящено много оригинальных работ [1, 2] и монографий [3, 4]. Поэтому мы сочли возможным не излагать его в данной книге. Подчеркнем только, что получаемые
92методом обратной задачи точные решения имеют сложную структуру, содержащую дискретный набор солитонов и фоновое излучение. Они не позволяют достаточно просто проследить все стадии нестационарного взаимодействия волновых пакетов на конечных расстояниях или за конечное время. Однако с помощью этих решений можно чрезвычайно просто находить амплитудно-фазовые профили волновых пакетов после их столкновения (взаимодействия) в нелинейной среде — эту информацию дают асимптотики при Z -*¦ <» или t 00. Метод обратной задачи дает регулярный способ нахождения солитонов огибающих.