Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
После подстановки (4.36) в (4.1) становится ясно, что нахождение параметрических мод связано с решением задачи на собственные функции и собственные значения для уравнений
ЬВШ
TmB1m+ V13 —-= - Iy1E3(тїз)Я|м,
Э B2m ^4-37)
ГмЯгм + V2з = - Iy2E3(^3) В\м
9і?з
при условии ограниченности амплитуд вне импульса накачки. Рассмотрим форму стационарных импульсов и их инкремент для некоторых видов модуляции волны накачки, полагая для определенности U2 < U3 < U1.
Параметрические моды в поле колоколообразного импульса накачки. Для колоколообразного импульса (4.9) решение уравнений (4.37) выражается через гипергеометрическую функцию:
^im= ElMF(g + W3, - g + id3; і + І Гм11[22 'Vf3 + Ш3; ^ + ~ th ¦—) X
\ ZZ 2 2 T3 /
Гмтїз
X ехр --- . (4.38)
I Vi з І
На фронте импульса накачки при % = — <* аргумент гипергеометрической функции равен нулю, а сама функция — единице. Это означает, что амплиту-
70 да моды сигнала экспоненциально уменьшается на фронте накачки с постоянной времени Iv13 I /Гм.
Для нахождения структуры локализованных мод из (4.38) потребуем, чтобы и на хвосте (17 3 = 00) амплитуда моды была равна нулю. Гипергеометрическая функция единичного аргумента ограничена только при определенном соотношении между ее параметрами. В результате находим следующее выражение для инкремента р моды:
, Л 2g - (2р + 1)
=^Tl-lV-~ о» =0,1,2,...)- (4.39)
'г 13 +'т2 3
Дискретному спектру инкремента (4.39) отвечает дискретный набор параметрических мод
dp Г ^fla
+ —[и'-1 + И»(1 - + ИM ехр
dup U13I
(4.40)
где и = (1/2) [1 + th (т73/т3) ] — аргумент гипергеометрической функции (4.38).
Из (4.39) можно определить порог возбуждения параметрических мод, полагая Гм=0:
Snop = I 12+р. (4.41)
На пороге амплитуда моды в направлении оттока энергии сигнала не убывает (см. (4.38) при I1m = 0). При превышении порога наибольшее усиление испытывает основная мода (р =0), имеющая амплитудный профиль
імехр
Tb Г&0)Чз(Р2 з - I Vi з I) iVzdz +
2т3 2 \ V13 \ v23 т3
Гъ
(4.42)
На рис. 4.4 показаны графики инкрементов и профилей параметрических мод (4.40) при d3 = 0. Длительность стационарного импульса т1м ~т3/?, а его вершина смещена по отношению к вершине импульса накачки на время Arji м, причем
Лт?1м Hi -Ifl3I 1 ...
th-----. (4.43)
T3 V2 3 + I ^i3 1 Я?
С ростом номера моды ее инкремент уменьшается.
Характер модового усиления зависит от предыстории. Если модовый режим наступает сразу за квазистатическим (v23 = \ V13 |), то стационарные импульсы локализованы вблизи вершины основного, Дт?ум ^0, и инкремент в случаеd3 =d,g>р стремится к стационарной величине Гм ~Г0.
При несимметричном сносе энергии сигнальной и холостой волн из импульса накачки (I^i3 I V23) параметрические моды формируются у края основного импульса: Atj1m « (1/2) r3ln | ^ 13/^2 з ! > где, естественно, амплитуда накачки меньше. Вследствие этого инкремент модового усиле-
71 Рис. 4.4. Инкременты параметрических мод р-го порядка {а) и огибающие основной моды при р= 0(6):
1 — сигнальная волна, 2 — холостая волна, 3 — гауссов импульс накачки (5)
Рис. 4.5. Зависимость инкремента усиления параметрической моды от соотношения групповых скоростей волны накачки U3 и усиливаемых ВОЛН U1 HMj1 Ucp = 2«,Uj (O1 + U2)'1
ния падает при отходе от симметричного случая групповых расстроек (рис. 4.5) :
I 3^23 11/2 2P + 1 , ' ч
Г<Р) = 2Г0 -------(4.44)
v23 + І Різі ІТІ2 + 'тіз
Фазовая модуляция импульса накачки, характеризуемая параметром rf3, как видно из (4.39), уменьшает инкремент экспоненциального роста модовых амплитуд в соответствии с (4.17). Очень быстрая модуляция (I dz I ^ gv) вообще подавляет модовый режим усиления (наступает насыщение по длине нелинейной среды). Напротив, в сильных полях импульса накачки (gv > Irf3 |) процесс параметрического усиления становится когерентным; он также эффективен, как и в поле спектрально-ограниченного импульса с rf3 — 0. Из-за фазовой модуляции основного импульса, как показывает (4.42), несущая частота модового сигнала перестраивается на величину ?230 и возникает квазилинейная частотная модуляция, в два раза меньшая по сравнению с импульсом накачки (ср. с (4.9)),
Во временной задаче (4.3) модовому усилению, как было уже сказано, соответствует абсолютная неустойчивость волнового пакета (или пучка) накачки. Причем эффект фазовой модуляции импульса накачки связан в такой задаче с неоднородностью нелинейной среды, например плазмы [3, 10, 11]. Не представляет особого труда переложить результаты, полученные при анализе условий возбуждения модового режима параметрического усиления, на рассмотрение особенностей абсолютной неустойчи
72 вости в ограниченной области неоднородной параметрически-активной среды.
Параметрические моды в поле прямоугольного импульса накачки [6, 18]. Рассмотрим другой важный случай амплитудной модуляции импульса накачки, а именно прямоугольный профиль при длительности T3. Решение (4.37) при условии отсутствия притока энергии на сигнальной и холостой частотах в область импульса параметрической накачки (Я1м(т3/2) = 0 и В2м(- т3/2) =0) дает следующие формулы для расчета инкремента моды:
