Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
членами О (S'2), получаем, что флуктуационная сила <§Г (/) имеет вид
& = [R-1 - ЧаЯ"4А, (Q/C - /г)2 ]_1 о (Q/C - К) I =
= Я 11 + Ч2/Г3А, (Q/C - h)2 \ a {QIC - h) t (24.14)
Используем равенство (9), которое в силу (1) можно записать в виде
a2 (U) = kT (2R-1 - Я'№).
В рамках рассматриваемого приближения из него получаем
a (U) = (2hTR-'yi* (1 - ЧгЯ-зМ/2)1'* = (2Ш?-1)1/2 (1 - lUR-*Xlf2).
Подстановка этого равенства в (14) дает
S = {2kTRfi2 [1 + 1UR~3X (Q/C - hf] ?. (24.15)
Члены порядка {QIC-/г)4 и выше здесь не учитываются. В (15) нетрудно
выразить QIC - h через ток /, используя линейную часть уравнения (11).
После этого будем иметь
S = {2kTR)l/2 (1 + 'UR-'XP) g. (24.16)
Используя эту формулу, а также (10), найдем коррелятор флуктуа-ционной
силы при фиксированном токе
{& ft), 9 (f2)>, = 2kTЯ (1 + 1RR~1XI2) 6 (f12) = {2kTR + ШП2) 6 (/12).
(24.17)
Однако согласно второму равенству (20.68) коррелятор (17) должен
равняться Z12 + V2Z12i Э4/3/4. Путем сравнения получаем
Z", 84 = 2kTX 6 (/ь /2, /э, /4). (24.18)
255
С другой стороны, согласно общей теории в неквантовом случае справедлива
формула
¦Zl2,34 = kT (Zi, 234 4" Z2, 134) Zil\34 (24.19)
(см. (21.47)), которая в силу (5) дает
Z\2,34 = 2кТк б (/,, t2, t3, и) + zfl 34- (24.20)
Приравнивая (18) и (20), получаем диссипационно-неопределяемую функцию
Z,(22!34 = 0. (24.21)
Поэтому функция У(r) 34 также равна нулю.
2. Использование найденной функции Z\f,M Для примера из
п. 23.5. До сих пор при определении Z12! 34 мы рассматривали только
схемы, изображенные на рис. 7.1 и 24.1. Диссипационно-неопре-деляемая
функция Zi^34, как и импеданс Zi, 234. разумеется, не изменится, если
данное нелинейное сопротивление включить в другую схему, скажем, в схему,
изображенную на рис. 23.2. Предположим сначала, что двухполюсник г (ко),
изображенный на рис. 23.2, отсутствует. Тогда согласно (23.28)
рассматриваемая система описывается уравнением
(uoL + R) I + УД/3 = h. (24.22)
Эго значит, что линейный импеданс в данном случае равен Zb 2 = ~ (PiL +
R) б (/12), а нелинейный - такой же, как и в предыдущем пункте. Поэтому в
данном случае функции (18), (21) не изменяются и, следовательно, по-
прежнему можно пользоваться формулой (16) для случайной з. д. с.
К рассматриваемой схеме можно применять также марковские методы. Полагая
энергию индуктивности равной L/2/2 и вводя импульс р = LI, из (22) при й
= 0 имеем уравнение
р = -RI - УД/3. (24.23
Оно есть не что иное, как феноменологическое уравнение в приведенной
форме. Пользуясь им, получаем
У, 1 = R, U, in = А..
При этом использование формулы (10.23) дает
/п. 11 = kT (2А + cu, ц), (24.24)
где Сц, и - диссипационно-неопределяемый параметр марковской теории, не
обязанный совпадать с соответствующим параметром из п. 1. ? "'
Вводя случайную силу в уравнение (23), получаем уравнение Ланжевена
р = -RI - УД/3 + I (/, t), (24.25)
256
причем
(I (Л к)$(к k))i - ^11 0) & (^12) = (^и + 1/г^и, и^2) б (^12)
или, в силу (24),
(I (к), IШ = kT [2R + (X + V2C11, u) T] 6 (f"). (24.26)
Поскольку ? (0 имеет смысл э. д. с., это равенство совпадает с равенством
(17). Сравнение дает cUj u = 0. Далее, (26) совпадает с равенством
(<%\, &2)J - kTZ\2 -j- XlikT {Z\y 234 -r- Z2, 134) /3/4 ~|- x/2-^12!
34^3/4
немарковской теории. Здесь использовано (19). Поскольку Zx> 234 = А.6 (^,
..., П)> чт0 вытекает из (22), отсюда получаем
Z12! 34 = kTcn, 116 (^1, . . . j- U).
В силу исчезновения с1ь п эта функция равна нулю, что согласуется с (21).
Итак, диодная модель нелинейного сопротивления, введенная для схемы на
рис. 7.1, как и любая другая модель, позволяет находить диссипационно-
неопределяемые параметры и функции для других схем, содержащих данное
нелинейное сопротивление. Это относится как к марковскому, так и к
немарковскому варианту теории.
Функция Z}^34 определяется равенством (21) также и в том случае, когда в
цепь вставлен двухполюсник с импедансом г (г'со) (рис. 23.2). Вследствие
(22.79) и равенства Sun = 0, вытекающего из линейности индуктивности,
имеем <7Ш1 = cu, и =0. Тем самым по диодной модели определен параметр
<7ц11( входящий в формулы (23.32)-(23.34), соответствующие
рассматриваемой схеме. Конечно, можно использовать и другие, более точные
модели.
3. Последовательное соединение нелинейных подсистем, имеющих различные
температуры. Рассмотрим задачу другого типа, а именно, рассмотрим
составную систему, разные части которой находятся при различных
температурах. Примером является схема, изображенная на рис. 24.2,
содержащая последовательно соединенные индуктивность и нелинейные
сопротивления, каждое из которых имеет тепловой контакт со своей тепловой
ванной, имеющей большую теплоемкость, так что темпера-туру Тг первого
сопротивления и температуру Т2 второго можно считать неизменными.
Можно ли рассчитать ток в описанной цепи и его флуктуации, несмотря на
то, что разные части системы имеют различную температуру? Строго говоря,
ответ должен быть отрицательным, однако, если использовать ФДС третьего
