Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
что и в пп. 22.5, 22.6. В п. 13.8 найдены коэффициенты (13.65)
кинетического уравнения, соответствующие феноменологическим уравнениям
(13.62). Вводя в эти уравнения флуктуации, описываемые указанными
коэффициентами, получаем уравнение Ланжевена
Dl = (xoiH)l-jl(E) + Mr, t, Е)
(второе уравнение для нас несущественно). Здесь rp (г, t) = -(/ф)г -
флуктуационные воздействия, имеющие физический смысл сторонних
флуктуационных токов, взятых с обратным знаком. Их статистические
свойства определяются коэффициентами кинетического уравнения
ti), .... r\im(rm, tm))B =
= Klv..lm(r\, • • - , Гп" E)6 0I, • • •> tm),
где слева стоят условные корреляторы, соответствующие фиксированному
вектору Е. Используя третью формулу (13.65), следовательно, имеем
{щ(ги ti), r\i (r2, t2))E =
= kT [2o6ji -)- (2% -(- Cj_ -f- c2) E28jt -(- (4Я, -I- 2c2) EjEi\ 8 (Гц)
б 0ц).
(23.51)
С другой стороны, в данном случае, как и в других, справедливо
стохастическое представление (21.50), где в данном случае J нужно
поменять на J. При этом в силу (20.68) имеем
^2)7 = 2i2 + V-2^12,34^3/4. (23.52)
Здесь, как указывалось, J = Е (г). Какой физический смысл в данном случае
имеют случайные силы 8? Вообще говоря, справедливо стохастическое
равенство
•^1, i'l2 1 VeZi, 234Ji'tЗ'П - h\ [
типа (21.4), которое заменяет (45). Но в нашем случае hx = -/стор(г).
Поэтому + 8Ъ естественно, имеет смысл -/ст°р -/ф, т. е. 8Х = = -Уф (г)•
Вспоминая, что ^ (г) = -/ф (г), видим, что 8 совпадает 250
с г] (г). Поэтому формула (51) совпадает с (52), и из (51) легко найти
функцию Z12, 84- Дифференцирование правой части (51) по Еи и Еи дает
Z\2,34 = kT [2 (2А. -j- Ci + ^брьб/з/, +
~Ь (4A,2c2) (fy./jfi/,/, + 6/,^6/j/,)] 6{ri, г2, Гз, r4)6(/b /2, tz, 4)-
(23.53)
Теперь, используя (53) и кубический импеданс из (46), по формуле (22.77)
можно получить диссипационно-неопределяемую функцию:
P^i!' 34 = 2 )ci6/l/26y3/4 4- [с2 - (/?i + /?2) е3] //,/2/3/4} X
X 6(гъ г2, гз, г4)6(4, /2, 4, 4)
или, в спектральной форме,
PZ$34 = (2л)-4 {2c,6/l/t6/l/4 + [2с2 + 2* (со, + со2)] /ь .../4} X
X б (А4 -|- ¦ • • 4" А4) б (coj + •••-)- со4).
Теперь мы можем по формуле (22.68) при учете (49) найти соответствующую
К-функцию:
рк! 2, 34 = 2 (2л)-4 yiti(ku со,) у,-г," (А2, co2) {с,6/т6", +
+ (с2 - /со, - /<в2)
1 Imns) УП/з (А3, со3) с/|/4 (А4, со4) X
X б (А4 -| hA4)6(coH [-(c)J- (23.54)
Равенства (50) и (54) позволяют найти коррелятор электрического поля. При
этом следует использовать ФДС
Р3Г1234 = Р (1234) {Yu 234 -Г Y?, 234) + рЯ(234) [Рц?(r). м]
из п. 18.9. Результирующая формула имеет вид
р3<?,, Ег, Е3, ?4) = 2(2n)-4{-P(,234)[2Re (/со,е3 + Х)х
X У lu (АI, СО,) 11тп$Ут}г (А2> С02) Ущ'з (А3, co3)c/s/t(A4, со4)] -)-+
R(234) 1РиУ},1 (А,, С0,)г//2т (А2, со2) (c,6ym6ns -f-+ (с2 - ICO, - К02)
11тпь) Уп]', (А3, С03) г/*/4 (А4, со4)]у X
X б (Ai + '••• + А4) б (со4 -(-••• + со4) (23.55)
(?4 = Ej, (Ai) и т. п.). Тем самым найдена четверная пространственно-
временная спектральная плотность флуктуаций поля Е. Кроме того, по
соотношениям
Р2К123, 4 = Р(123)^1, 234 + Yi, 123 + Р-Д(123)Yu,34,
~,2. (23.56)
рк 12,34 = Pl2Y 1,234 + РК 12,34
(см. п. 18.9) можно найти производные
б<?ь ?" ?з)/6/4Т°Р =-Kl23.4,
бг(?,, ?2>/б/3сторб/Гр = Г12,з4.
251
а значит, и неравнстесные корреляторы (Ei, Е2, ?з> = -Г,2з,4/4СТОР,
<?ь Е2) = (Еи ?2)0 + 1/2У12,з4/зстор/4Тор-Во все эти функции будут
входить только две диссипационно-неопре-деляемых постоянных су и сг.
Получаемые описанным способом результаты можно обобщить и на тот
немарковский случай, когда имеется пространственная или (и) временная
дисперсия. При наличии обеих дисперсий вместо (39) будем иметь
jh (г, t) = \o(r - r', t - t')Eh(r', t') dr' dt' -\-
-r ( К (r - г 1; r - r2, r - rs, t - t 1, t~t2, t - t3) X
x Ej (rb tx)Ej(r2, ?>)?fe(r3, t.i)drl(lr2dridtldt2dt3
и аналогично для второго равенства. На спектральном языке это обозначает,
что а и ех становятся функциями от & и со, а А, и е:! - функциями от k2,
k3, а>1( оо2, Из- Полная диэлектрическая проницаемость теперь будет
такой:
e(k, a) = el(k, w)(iw)"1 a (k, со).
При этом формула (55) и другие аналогичные формулы, получаемые при помощи
(56), сохраняют свое значение, если в них поменять е4, ст, е3, К (и может
быть р) на соответствующие функции от частот и волновых векторов.
Постоянные су, с2, естественно, также меняются на функции су (Ay, k2,
k3, cry, co2, co3), c2 (Ay, Ay, Ay, oy,
со2, соч). При этом происходит сильное увеличение относительного веса
диссипационно-неопределяемых факторов. Тем не менее их относительный вес
все равно остается небольшим.
В самом деле, коррелятор (Ех, Е2, Ез, Ех) содержит 15 независимых функций
от Ау, ..., Ay, сог, ..., со,,, поскольку симметричный тензор четвертого
ранга, индексы которого пробегают значения 1, 2, 3, имеет 15 независимых
элементов. Матрица б (Еи Е2, E3)/8lii содержит, как показывает подсчет,
30 независимых функций. Матрица б2 (Ех, ?2)/бЯ3бЯ4 содержит 36
независимых функций. Всего имеется 81 функция от Ay, Ay, Ау, сог, соа,
