Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
S (k\, coi, k2, (c)2) = (2я) 2с0Л^а27э12з [(г(c)1 -f- kf) "(--i(o3-\-k3) !]
(и3 = -(ох - (о2). К этому результату можно присоединить равен-тва
(с (k\, (Di), С {k2, (c)2)) == (Ц1, (Dx) 6 (ftx -j- ft2) 6 ((Di -j- (02),
5 (ku (D,) = 2cQNJlk2x ((D? -!- k\)~\
легко получаемые при помощи линейного ФДС (22.20), а также формулы
(22.5).
7. Импедансы и адмитансы электромагнитного поля в среде с кубической
нелинейностью. Случай кубической нелинейности в зависимостях D (Е) и J
(Е) рассматривался в п. 13.8, причем среда предполагалась изотропной. В
данном случае
Продолжим это рассмотрение. Из первого равенства (39) нетрудно получить
При этом из (38) получаем
(C(k 1, (Di), c(k2, (c)2), с(Л3, (c)3)> =
= S (ki, (Di, k2, (d2) 6 (k\ -j- ^2 ~l~ Л3) 6 ((c)1 + ffl2 + (c)3),
Dk = si?ft -f e3E2Eh, jh = eEh -f KE2Eh.
(23.39)
Eh = ef1 {Dk - zT%E?Dk) + О (D4).
247
При этом Ek -=du/dDh в силу (12.52). Интегрируя равенство
du/dDk = eYlDk - нГ4езП2П,,, находим
и (D, В) = l/2eTlD2 - Vxfc'rVjD4 у- const (В ) или, если учесть (12.51),
и (D, В) = Va (ef'O2 + р-1В2) - 74еГ48304 1 const. (23.40)
Зная плотность энергии (40), а значит, и суммарную энергию (12.50), а
также феноменологические уравнения (13.62), можно, взяв в качестве
вектора внутренних параметров А переменные D (г), В (г), по формулам из
пп. 22.4-22.7 определить четверной коррелятор (с точностью до
диссипационно-неопределяемых параметров) и четы-рехиндексные производные
от корреляторов по силам. При этом, конечно, придется обращать 6 X 6-
матрицу Z", р ((c)4, со2), чтобы найти У'а, р (соь со2)- Чтобы упростить
выкладки, пойдем другим путем. В качестве вектора внутренних параметров А
возьмем Е (г). Тогда в роли параметров А (см. (22.44)) будут выступать
переменные, обладающие свойством dA/dt = Е (г). Нетрудно понять, что
имеется простая связь между А и векторным потенциалом А (г), взятым в той
калибровке, при которой справедливы равенства
E(r) = -А (г), ?(r) = rot А(г). (23.41)
Очевидно, что А совпадает с -А (г).
Если имеются внешние по отношению к полю сторонние заряды и токи, то, как
известно, им соответствует добавочная энергия
У = j (фрст°р - A jст°р) dr. (23.42)
При калибровке (41) скалярный потенциал равен нулю и (42) принимает вид
Е = - j A(r)- jCT°P(r)dr.
Данное выражение следует сравнивать с выражением V = -AJia, определяющим
добавочную энергию, обусловленную действием внешних сил %, сопряженных с
А. Поскольку А = -А (г), то
h = -/сто р (г).
При наличии сторонних токов вместо второго равенства (39) будем иметь
iu = oEk + KE2Ek + /Гр. (23.43)
Подставляя первое равенство (39), (43), а также (41) в уравнения
Максвелла (12.53), получим
(ei'-J- + а) А + [Г1 (grad div А - ДЛ) 4
+ (e3^- + ^)^'l2i==^CTOP- (23'44)
248
В силу равенств Е - -А - J, jmр = -h это уравнение является
конкретизацией уравнения (22.61) для рассматриваемого случая. Вводя
оператор р = d/dt, уравнение (44) можно записать так:
{рг1 + o)J- (щ<)-1 [V2/ - V (V ¦ /)] + (№ + X) \ 7\3 /= А.
Сравнивая это уравнение с обычным уравнением
^1, + 2 Г Vo^l, 2Х+ 2++ - ^i> (23.45)
получаем линейный и кубический импедансы
^i,2 = (yOipr' (W (piei + о) - У?] 6/l/2 + УцУ/Л 6 (п2) 6 (/]2),
(23.46)
Zi.234 = 2 (р^+Ц1ы,ииЫг1, г2, Гз, Г4)б(/Ь /2, /з. ^),
где 1Птп == б,,бт" + б;,пб;" + 67-"6;,". Если перейти к спектрам, то
равенства (46) примут вид
Z;, I (А, СО, А', со') =
= (-ссор)-1 {[/cop (koejl - о) + k2] бу7 - kjk,) 6 (А А') 6 (со со'),
(23.47)
Z\,234 = 2 (2л) 4(--(-¦¦¦ -j- А4)б(со[ -f- • • • -1- со4).
(23.48)
Здесь р поменялось на -7со, поскольку импедансы в отличие от ад-митансов
являются контравариантными в смысле п. 16.2. Выражение ссоб! + о будем
трактовать как /сое (со), где е (со) - полная линейная диэлектрическая
проницаемость.
Обращая линейный импеданс (47) по формуле И!2 = Z72, находим
соответствующий адмитанс
Yul(k, со, А', со') =
= ссор [А2 - <в2ре (со)]-1 [ бл - м^м) ¦] б (A f А') б (со f со') =
= уп (А, со) б (А + А') б (со -f- со'). (23.49)
Правильность данного выражения можно проверить непосредственно вычисляя
матричное произведение Zlt 2Y2, 3- Используя (49), по формуле (3 (7lt
72)о = Yu 2 + Y2, i, соответствующей (17.62), нетрудно найти двойной
коррелятор:
Р(?;(А, со), Ei(A', w'))o =
= -cop Im J [А2 - со2ре (со)]-1 [ 8}l - } 6 (А + А') б (со + со')
Нулик в правой части указывает, что коррелятор соответствует нулевым
сторонним токам /ст°р.
8. Диссипационно-неопределяемые функции и четверной коррелятор
электромагнитного поля. Перейдем к отысканию четверного коррелятора
электрического поля в спектральной форме. Зная
249
кубический импеданс (48) и адмитанс (49), нетрудно найги кубический
адмитанс
^1, 284 - У1^1, Ч'иУ2^,У4 -
= -2 (2я)~4 (годез + ^)*//1/(Ль "О 1шп4)щг (fa, со2) г/щ3 (А3) <w3) X
X г/s/, (^4, (r)4) б (Ад + • • • + kb) б (coi ¦ • • -f- 044). (23.50)
Он позволяет найти диссипационно-определяемые части (18.67)
четырехиндексных функций, в частности, четверного коррелятора. Для
вычисления диссипационно-неопределяемых частей используем тот же метод,
