Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
неодинаковостью теплоемкостей, или несимметрией теплообмена (13.17),
точнее, неравенством df (Тъ Т2)/д7\ Ф df (Тъ Т2)/дТ2 (см. (13.22)),
благодаря чему р Ф 0 даже при = с%.
212
4. Корреляторы скорости ТёМ, движущегося с нелинейным трением в
изотропной среде. Перейдем к расчету корреляторов для механического
примера, рассмотренного ранее в п. 13.7. В качестве внутренних параметров
Аъ А2, А3 выбираем компоненты вектора скорости <о. В роли параметров
(22.58) выступают компоненты импульса ра. При этом уравнения (22.39)
совпадают с частью уравнений Гамильтона, а именно, с уравнениями qa = va
=±= д2% (р)/дра-Если кинетическая энергия тела имеет обычный вид W =
1/2ти2, то ра = mva, Ж (р) = %р1/(2т).
Производные ра имеют смысл компонент механической силы, сопряженных с
координатами qa рассматриваемого тела. Внешняя сила h в данном случае
совпадает с внешней механической силой f. При ее действии вместо (13.53)
имеем уравнение
Ра = -'yva - Ь2иа + fa (О,
которое служит примером уравнения (22.60). Итак, в данном примере
Г а ц = т-^ац, da& = (y/m) 8а&, sap76 = 0, (23.23)
а матрица fa$ya имеет вид
/"руст = ~2 &/т) (Ьа&дуо + 6av6p0 + 6ца6р7) (23.24)
(ср. (13.54)). Рассмотрим теперь диссипационно-неопределяемую матрицу
qa$yg, которая в силу (22.79) совпадает с capv6 и обладает Симметрией
С/сьруб Qficcyb Ра&бу ^убаР*
Учитывая (13.57), имеем
9аРу<т = (С|] - Сх) (6av6p0-j-6a06(3v) 4-2с±барб7а, (23.25)
причем, как отмечалось в п. 13.7, основной вклад дает параметр сц.
Зная матрицы (23)-(25), по формулам из пп. 22.6 и 22.7 можно найти
корреляторы скоростей и их производные по силам.
Используя (22.88) при найденных выше матрицах, получаем
Va^ia, 34/3/4 = (/ln)'1kTm-i J (-2КР12 (шц + у/т)-1 X
X (-I'co 2 + y/m)-1 (-ко3 + у/m)-1 (-i'co4 + у/т)~1 x
X [6a,a2/Э ((c)3) /р (CO4) -! ¦ P34/a, ((r)з) /a2 ((c)4)] -1 ¦
+ ("(c)! -f- у/m)-1 (ico2 + у /ту1 (-tco3 + у/ту1 (-ico4 + y/m)-1 x
X[2c±6aia2/3(C03)/p(c04) + (C|i -C±)PMfai (со3)/"2 ((c)4)]}X
X 6 (co4 -j- • • • + co4) dco3 dco4, (23.26)
где fa (со) = (2я)_1/2 j exp (iat) fa (t) dt. Выражение (26) нужно
добавить к коррелятору (с", ((r)i), Va2 (со2))0 линейного приближения,
чтобы найти неравновесный коррелятор (уа, (со4), уа, (со2))/,
соответствующий действию внешней силы f(t).
Аналогично, применяя формулу (22.90), можно найти неравновесный
коррелятор (щ, у2, v3)f = Y123i 4/4, обусловленный действием
243
внешней силы. Ограничимся тем, что по формуле (22,85) найдем четверной
коррелятор в области упорядоченных времен. Вследствие дельтообразного
характера матрицы йа$ первое уравнение (22.87) имеет тривиальное решение
m t
"2а0уб - - 2у I а/Зуб*
Левая часть второго уравнения (22.87) обращается в нуль, что
свидетельствует о том, что в соответствующем интеграле в (22.84) под-
интегральное выражение не зависит от t0 и что соответствующий интеграл
тривиален. В результате интегрирования будем иметь
(^а, (М> • • • > уа4 (^0) -
= ("ГГ") {~у (¦^><234)ба1с',2бс(3о'.4) [ехр [ (у/т) (t12 t13 -f V4]
-¦ 2 ехр [- (y/m)(tv, ; /24)J 1 - exp |- (y/m) (iu - J- /3J --1- /M)]J -t
: - m~1qayaM,aM exP [(-У/т) >4; i Vi)l]
при iv > t2 > t3 > /4. Такой же вид, но с переставленными
индексами 1, 2, 3, 4 коррелятор имеет и в других областях
упорядоченных
моментов времени.
5. Переход к немарковскому случаю на примере цепи с индуктивностью.
Вернемся к цепи, изображенной на рис. 23.1 (пп. 13.2, --I 23.1), но
теперь индуктивность будем считать ли-
7""" нейной, а вместо (13.10) возьмем симметричную
кубическую вольт-амперную характеристику нелинейного сопротивления:
I____0_____I V (/) - RI У- V"XI3. (23.27)
Рис 23 2 Кроме того, последовательно вставим некоторый линейный
двухполюсник, имеющий импеданс z(ico) (рис. 23.2). Тогда уравнение,
описывающее баланс напряжений, будет иметь вид
[icoL + R + г (ш) ] I + ХР/6 = И (23.28)
или
р - R = -RI - z (d/dt) I - > я/6.
Если здесь положить z (ш) 0, то путем сравнения с (22 60) при
А1 I нетрудно получить r/ldn -¦¦- R, гп/1111 = -X или
dn = RIL, /11Ц =, -ML, (23.29)
поскольку гп = 1/L.
Благодаря тому, что импеданс z (ш) двухполюсника может быть произвольным,
рассматриваемая система становится немарковской. Наличие двухполюсника z
(гto) изменяет линейный импеданс системы, который теперь становится
таким:
^1,1 ((r)1, СОг) = [itOa-T 4" R "К Z (itOa) ] 6 (сог 4" ЧЗг), (23.30)
244
т. е. Z' (со) = /соL + R + 2 (iсо) (учтена контравариантность импеданса
Zia (о)1( сог)).
Однако вставка двухполюсника не влияет на кубический импеданс и на
функцию Zu>11. Последняя имеет тот же самый вид, что и в марковском
случае, когда двухполюсника г (г'со) нет, т. е. справедливо равенство
типа (22.77) при диссипационно-неопределяемой функции (22.78). Чтобы
получить диссипационно-неопределяемую функцию Y(пи, остается применить
преобразование (22.68) при новой линейной адмитансной функции Yltl. Она
получается обращением импеданса (30) и равна
Ri,i ((r)i> (r)г) = [гсоД -f- R -f- z (tcOi) ] 1 6 (co4 -f- сог). (23.31)
