Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
со3, и все они задаются двумя диссииационно-неопределяемыми функциями от
указанных аргументов.
Число найденных, т. е. выраженных через су, с2, функций будет еще больше,
если при помощи соотношения В =-(го)-1 rot ?, вытекающего из (41), найти
корреляторы магнитного поля. Устранить неопределенность, остающуюся после
фиксации феноменологического уравнения, можно, обратившись к той или иной
модели электропроводности среды.
Коррелятор (55) в соответствии с формулой
{Е1Е2Е3Е4) = Я(234) (Ей Е2)(Е3, Е^ (Еи Е2, Е3, Ех) (23,57)
252
определяет четверной момент поля более точно, чем в соответствии с
теорией гауссовых флуктуаций, обусловливающей в (57) члены типа (Еъ Е2)
(Е3, ?/,). Правда, негауссов член в правой части (57) относительно
невелик по сравнению с первыми членами, но он имеет совершенно другое
поведение. Члены Р(234) (Е,, Е2) (Е3, ?4) отличны от нуля только на
диагоналях &4 + к" - 0, сох + со2 = 0; kx + k3 = 0, а>х + со3 =0; +
&4 ='0, со4 + <о4 = 0. Вне этих
диагоналей на спектральную плотность флуктуаций влияет только негауссов
член. Отсюда видно, что негауссов член - четверной коррелятор - иногда
является существенным, несмотря на свою малость.
§ 24. Другие типы применений нелинейных ФДС
1. Определение диссипационно-неопределяемой функции Z12,34 при помощи
диодной модели нелинейного сопротивления. Диодная модель, рассмотренная в
п. 7.2, относится к схеме, изображенной на рис. 7.1. Для нее справедливо
уравнение (7.13). В симметричном случае, что соответствует значениям р =
q = 1/2, из (7.1.4), пренебрегая в экспоненте малыми членами |Зе2/(8С),
имеем такую характеристику:
/ (4) = 2Д sh (ре4/2) = 2/4 [ре4/2 + V, (Ре4/2)3 +...] =
= реД4 + 1/2463е3/143 + ...
Формулой (23.27) задается обратная зависимость /_1 (/) = RI -\-+ 1/еХ13.
Определяя итерациями обратную функцию, нетрудно получить
R = (ре/.Г1, X = -V4pV/, (ре/,)'4 = - (4pe/f)-'. (24.1)
Пользуясь изображением (7.25) и учитывая (5.31), нетрудно получить для
диодной модели
Kl (U) = -2Д sh (Ч2реД) - реДД - V24pW,//3,
"11 (t/) = 2e/i ch (V"Pe?/) = 2e/4 + VJWit/2. . (24.2)
Отсюда имеем
4,1 = -Pe/i, /1,111 = -V4pJe3/i, /14 = 2e/i, /ц, ц = V^pWi.
Следовательно, по формуле (10.23) для этих значений получаем
Hi, и = P/11,11 ~\~ 2/i,iu = 0, (24.3)
т. е. в данном марковском примере для диодной модели диссипа-ционно-
неопределяемый параметр с1Ь u равен нулю.
Если мы хотим узнать диссипационно-неопределяемые параметры и функции для
других схем, -в которые вставлено данное нелинейное сопротивление, то
целесообразно применить общие немарковские методы анализа, основанные на
использовании функций Z... или Q... . 1 .
253
Чтобы применить немарковские методы к данному случаю, введем в схему,
изображенную на рис. 7.1, источник внешней э. д. с. h. Получим схему,
изображенную на рис. 24.1. В этом случае, вместо уравнения (7.13), будет
справедливо уравнение
/ = -/ (Q/C (24.4)
Разрешая это уравнение относительно QIC-h и учитывая, что, как
указывалось, /_1 (/) = RI + 1/лХР, получим
I/(pC) -h= -RI - VA/3,
т. е.
h = [R + (рС)-Ч I + Ч,ХР.
Это уравнение описывает баланс напряжений. Сравнивая его с (20.5),
находим соответствующие данной схеме импедансы
С=j= Zli2 = [R + (PiC)"1 ] б(*12),
Дь 234 - ХЬ {ti, t2, /3, Д) (^i,23 - 0). (24.5)
Рис 24 1 Перейдем к рассмотрению флуктуаций в системе.
Поскольку процесс в цепи на рис. 7.1 является марковским,
феноменологическому уравнению (7.13) соответствует уравнение Ланжевена
Q = -/ (QIC) + /ф (Q, t), (24.6)
где /ф (Q, t) - дельта-коррелированный (при фиксированном Q)
флуктуационный ток
(7{>(Q> ^i), 7{>(Q, #"))e = Ku(Q)e(/u);
Kn (Q) = xu (QIC) - коэффициент кинетического уравнения. Учитывая второе
равенство (2), имеем
{1Ф (к), /Ф (t2))Q = [2eh + (Q/C)2) б (/12). (24.7)
Воспользуемся стохастическим представлением флуктуационного тока
/Ф (Q, t) = a (QIC) I (t), (24.8)
где
а2 (60 = 2еЛ + 1/4Р2е3/1Д2, (24.9)
чтобы выполнялось равенство (7). Здесь ? - не зависящая от Q и /
случайная функция с нулевым средним значением и коррелятором
a (k),i т = б (/"). , (24.Ю)
Выражение (8) следует подставить в уравнение (6).
Если в цепь включен источник внешней э. д. с. (рис. 24.1), то вместо (8),
естественно, следует брать выражение
/ф (t) =o(Q/C-h)l(t).
254
Добавляя его в правую часть уравнения с силой h типа (4), будем иметь
такое уравнение Ланжевена:
/ = - R-1 {QIC - h) + Ve/TU (QIC - hf + a (QIC - h) I (t).
(24.11)
Разрешим это равенство относительно h. Предварительно его целесообразно
записать в виде
/ = - R-1 {QIC - h - 8) + 46R^X {QIC -h - + ..., .(24.12)
где & - случайная функция, определяемая равенством
RTX& - ЧаЯ"4*, [(Q/C -Kf& + 0 (<Г2)] = о (IQIC - h)% (t), (24.13)
получаемым путем сопоставления (11) и (12).
Из (12) имеем
h + 8 - QIC = RI + ЧД/8
и, следовательно,
h + $ = (R + (рСу1) I + Ч,Я/8.
В силу (5) это равенство совпадает с уравнением
hi -)- = Z4j 2/а Ч 4eZi, 234/2/3/4>
которое эквивалентно (21.4). Из формулы (13), если в ней пренебречь
