Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Тем самым биадмитанс в рамках модели флуктуирующего сопротивления
полностью найден. По поводу полученного результата (94) следует сделать
одно замечание. Если в (94) вместо точной функции б (т) подставить
симметричную (6^ (-т) = бд (т)) аппроксимацию б,! (т) этой функции,
имеющую конечную, но малую ширину ц, то
немедленно нарушится условие причинности типа (16.6), сколь бы
ни было мало [х. Чтобы избежать этого, в (91) целесообразно ввести малое
запаздывание, положив
J (к = g (0 h (t - е), где е - малая положительная величина. Тогда б J
(t)/6h (t') = g (t) б (t - t- е), и вместо (94) будем иметь
У° (к, к; к, к) = (g (к), g (к)) Либ (fie - е) б (ki - е).
(24.95)
При таком адмитансе в случае замены б (т) -v бд (т) условие причинности
не будет нарушено, если только ц "т.
В спектральном представлении можно не делать различия между (94) и (95).
В этом представлении биадмитанс будет иметь вид
Е° (соь со2; со3, м4) =
= (2л)-2 J ехр (-t'ajj*! - ... - ш4*4)К° (к, к\ *з> к) dk ¦¦¦
... dk = (2л)-2 PSi J ехр (-tcOj_k - ... - iciik) (g (k), g (k)) x
X б (*13) 6 (ki) dk dk,
т. e.
У0 (coj, co2; co3, co4) =
= (2л)-2 P3i J exp [-г (co; + co3) к - i ((r)2 + (r)4) к 1X
X(g(k), g(k))dkdk-271
Отсюда получаем
Y° (ыь ы2; (о3, ы4) = (2л)-1 P3i (g (со4 + ы3), g (со2 + ы4)), (24.96)
где
g (со) = (2л)~1/2 j (t)dt.
Поскольку
(ё (")> ё ("')) = Sg (со) 6 (со + со') = s° (со) (g)2 6 (со + со')
(использовано (86)), формула (96) дает F0 (соь со2; со3, со4) =
= (2л)-1 P34s° (со4 + и3) (g)26 (со4 + м2 + м3 + со4). (24.97)
Теперь мы можем вернуться к тому случаю, когда к резистору,
имеющему фликкерные свойства, подключен двухполюсник г (и). Подставляя
(97) в (80), будем иметь
Y (со4, со2; м3, со4) = (2л)-1 g2 [1 + gz (coj)]-1 X
X [1 + gz (co2) ]-1 [1 + gz (-ю3)]-1 [1 4~ gz ( co4) ]-1 X
X [s° (co4 4~ co3) -f- s° (co4 -j- co4) ] 6 (co4 -f- ... -f-
co4), (24.98)
где g = (g). Заметим, что для модели флуктуирующего сопротивления формулу
(80) можно доказать аналогично тому, как мы получили (90). Нужно лишь при
записи равенства, аналогичного (89), считать э. д. с. и непостоянной.
Зная биадмитанс (98), по формулам (77), (18.76) легко получить искомый
четверной коррелятор
(J (mi), ..., J (м4)) = (kT)2 л-1?2 Re Р(123) {[1 + ёг ((r)i) J-1 х X [1 +
gz (со2)]-1 [1 + gz* (со3)]-1 [1 + gz* (м4)]-1 X X [s° (сщ -f- оз3) 4- s°
(со4 4- со4) ]} 6 (со4 4~ ••• 4~ м4) (24.99)
и тройной коррелятор
(J (СО]), J (И2), J (Из)) = kT (2л)-1 g-2P(i23) j [1 4- gz (со4)]-1 X [1
4~ gz (со2) ]-1 [1 + gz* (fflg)]"1 [1 + gz* (со4)1-1 X X [s° (м4 4- С03)
4- S0 (со4 4- С04) ] 6 (м4 4- 4- М4) и (со4) <4м4,
(24.100)
которые характеризуют негауссовы свойства фликкер-шума. При записи
равенства (99) учтено, что z* (со) = z (-м), s°* (со) = s° (м).
Вследствие наличия функции 6 (со4 4~ ••• 4~ м4) интеграл по со4 в (100)
является тривиальным.
Видим, что использование модели флуктуирующего сопротивления позволило
найти указанные корреляторы фликкер-шума. Благодаря присутствию функции
s° (•) эти корреляторы содержат зависимости типа (coft + м()-1, т. е,
зависимости типичного флик-керного вида,
272
10. Использование найденного четверного коррелятора фликкер-шума для
теории эксперимента Восса и Кларка. Рассмотрим сначала нестрогие
соображения, которые привели к постановке упомянутого эксперимента.
Равновесные флуктуации фликкер-шума описываются, как известно,
спектральной плотностью, определяемой по точной формуле (67). Мы
предположим, что к фликкерному резистору последовательно подключено
дополнительное сопротивление Я0, не обладающее фликкерными свойствами.
Внешнее напряжение и предполагается отсутствующим. Допустим теперь, что
сопротивление совершает медленные флуктуации: R = R (t). Если мы теперь
нестрогим образом распространим формулу Sj (a)0 = 2kT (R + Я0)1 на этот
случай, то будем иметь
S, (со, 0 = 2kT [Я (0 + Я" ]-1. (24.101)
Отсюда получаем спектральную плотность напряжения V на резисторе R0:
Sv (со, t) = 2kT [R (t) + ЯД-1 RI (24.102)
Добавлением аргумента t у Sj и S,/ мы отметили, что спектральная
плотность теперь стала зависящей от времени. Выбирая какой-либо частотный
интервал
(сох, со2) = (оц, сог + Асо) и вводя величину
Р (t) = Sv (сог, t) Асо, (24.103)
при помощи (102) получаем, что спектральная плотность этой величины
должна зависеть от частоты по фликкерному закону 1/со. В самом деле,
подставляя (102) в (103), при учете (87) находим
Р (0 = 2kTRl ((R) + ЯоГ1 Асо - 2 кТЩ ((Я) + Яо)-2 б Я (*)" Асо ,
(со) = 4 (kTf Яо ((Я) + ЯоГ4 (Асо)2 SR (t) =
= 4 (kT)2 Яо (Я)2 ((Я) + Яо)-4 Асо2s° (со). (24.104)
В связи с последним результатом возникла мысль экспериментально
образовать эмпирическую спектральную плотность фликкер-шума или
эмпирическую величину типа (103) и, измерив ее спектральную плотность,
проверить зависимость 1/со. Это было сделано [86], и данная зависимость,
действительно, была обнаружена при достаточно малых частотах.
Поскольку формула (101) является лишь интуитивной, необоснованной,
