Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
+ (*(r)i -Ь У)"1 (-г'"2 г У)-1)} 6 ("1 + (r)г + Юз)- (23.8) Используя этот
результат, а также равенство
(/ (и,), I (со2))0 = ((c)? + у2)-1 б (СО! + (c)г), (23.9)
получаемое, скажем, при помощи (22.20), можно записать полный
неравновесный коррелятор в линейно-квадратичном приближении </((c)i),
/(со2)) =
= 2 kTRL~* (и? + у2) б ((c), + (c)2) + J 6 h ((r)з) Ж>з, (23.10)
где
h (и) = (2л)_1/2 j ехр (Ш) h (t) dt. (23.11)
Если, в частности, взять постоянную стороннюю э. д. с. h R) = e?0, что в
соответствии с (11) дает /г (со) = (2k)1/2I?08 (со), то по формулам (8)-
(10) получим
(I ((c)0, / ((c),)) = kT {2L~2R ((c)? + у2)"1 +
+ y~lL-2fin&o [2Re (i(c)i + у)-2 - (со2 + у2)"1] -
- L~3Sni^o[2((c)i + у2)-1 + Re(t(c)i + у)_2]}б((c)! + ю2). (23.12)
Следовательно, найдена неравновесная спектральная плотность,
соответствующая действию постоянной э. д. с.
Отметим, что нетрудно получить и квантовое обобщение приведенных формул
(7) и (8). Так, при помощи ФДС (17.67) находим сим-метризованный
квантовый момент
Vl ([[^ (Wl)> ^ (Ы2)]+> ^ ((r)з)]+) = Р12(r) (i(r)2) (c) (Й"з) ^123 "Ь
V2 1(r)+ (IG3i) (r)+ (icoa) (c)+ (-ta>i) (r)+ (-^г)] ^312'
где
Г123 = (2л)-1/2 (kT)2 Г3 i Im {2L/!U(ico1 + у)'1 (-г(c)2 + yf1 х
X (-поз Т~ у) 1 - sP23 (i(c)! -)- у) 1 (-гю2 -(- у) х) б ((c)! Д ы2 -f- ы3),
2(c) (1(c)) = 0+ (гю) + (c)+ (-I(c)) = (c)+ (to) + 0" (г'(c)).
Функции 0± (i(c)) задаются формулами (17.63), (16.54).
240
2. Цепь с емкостью и кубическим нелинейным сопротивлением.
Вернемся к случаю, рассмотренному в п. 13.5, когда в роли внутреннего
параметра Аг выступает четный по времени параметр - заряд Q на емкости С.
Предполагая емкость линейной, имеем энергию F - W = Q2/(2C). Поэтому в
данном случае
Гц = С, s144 = 0. (23.13)
При вольт-амперной характеристике (13.42) феноменологическое
релаксационное уравнение имеет вид (13.42а). Сравнивая его с (22.56),
получаем
dn = S/C = у, flin = -Х/С3. (23.14)
Учитывая (13) и (14), можно применить формулу (22.85) в однокомпонентном
варианте для определения временного четверного коррелятора. Это дает
Р3 (Q (к), . . ., Q (/4)) = - [ехр [-у (t12 -f t13 -f tu)] -1-
+ exp [-у (tu + /24 -f *34)] - 2 exp [-у (/" ~f tu)J] +
-j- c0t2sj exp [-у (^i3 + ^24)] (23.15)
при tx > t2 > t3 > 4- Здесь c0 = C4<7U11 - диссипационно-неопре-деляемый
параметр. Для расчета последнего члена в данном примере нельзя
пользоваться вторым равенством (22.87), поскольку его левая часть
обращается в нуль, как и выражение в правой части второго равенства
(22.86). Это происходит потому, что подынтегральное выражение в
соответствующем члене в (22.84) не зависит от t0. Интегрирование при этом
является тривиальным и сводится к умножению на длину интервала
интегрирования.
Из (15) видно, что член с диссипационно-неопределяемым параметром ведет
себя иначе, чем прочие члены. Из (15), в частности, получаем
(Q (к), Q (к), Q (4), Q (t2)) = (kTf c0t12 ехр (-2у/12), t12 > 0.
Двойной коррелятор (Q2 (ty, Q2 (t2)), пропорциональный коррелятору
энергии, как нетрудно получить при помощи (1.11), имеет вид
(Q2 (к), Q2 т = 2 (Q (к), Q (к)У +
+ (Q(ti), Q(t 1), Q(k), Q(k))- (23.16)
Следовательно, диссипационно-неопределяемый параметр с0 можно найти
экспериментально, анализируя отличие коррелятора (16) от выражения
2 (Q (к), Q (к))2 = 2 (кТСУ ехр (-2у/12), /12 > 0,
получаемого при помощи линейной теории.
3. Тройной коррелятор внутренней энергии тела, находящегося в тепловом
контакте со вторым телом. Продолжим рассмотрение слабонелинейного
теплообмена двух тел, находящихся в тепловой изоляции от остальных тел
(см. п. 13.3). Сделаем непринципиальное,
241
упрощающее выкладки предположение, что теплоемкости сх, с2 тел не зависят
от температуры. Тогда, учитывая (13.28), (13.20), уравнение (13.21) можно
привести к виду
Ux = -Xc-±±^(U{-U\)- Р (?i-t?2)2 (t;, _ t/?)l (23.17)
Отождествляя ?/4 с Ах и сравнивая (17) с равенством
Аа =-d.a$Afr -]- Кг/аРуЛрЛу, (23.18)
которое эквивалентно (22.1), получаем
dn = у = Я (с4 + /ш = 2ц (сх + с2)2/(с1с2)2. (23.19)
Вследствие (13.18), (13.23) имеем
ds = -х dUi = -0-3 [(Л -туе- (Тх - т2у] du1
или, если учесть зависимость (13.28), (13.20),
- dS = 0_3 Г (Ui - t/?)e + (i/i - Л/4.
clc2 L clc2 J
Интегрируя это равенство, находим
-5 <= 0-3 Сл^г [ ¦] +const-
(23.20)
В данном примере следует пользоваться модифицированным вариантом
неравновесной термодинамики, в котором за основу берется не свободная
энергия, а энтропия. При этом вместо (22.2) следует брать формулу
-5 (А) = + 11ъ$а$уАаА$Ау -f- const, (23.21)
а в формуле (22.31) и других вместо Р = (kT)'1 брать к'1. Сравнивая (20)
с (21), получаем
г 02_?i?i_ 20-3^^. (23.22)
С\ + с2 с\с\ v 7
Г1осле того, как найдены значения (19), (22), по формулам (22.35)-
(22.37) при замене (3 -"¦ k-1 (см. пп. 17.8, 17.9) можно найти
трехвременной коррелятор
<ВД), ВД), им = -№ (с-?^)2й4х
X [2 ехр (-уД,) - ехр (-у (t12 ф- ф3)) - ехр (-у (t13 ф- t23))] -
- *S0e(^.)3smexp(-YW
при tx > t2 > t3. Отличие этого коррелятора от нуля обусловлено или
