Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
равенство (76) до подстановки его в уравнение (75), можно
найти корреляторы (20.68), т. е. вычислить функции Zx ..............
В частности, при учете (74) получаем
(j§ 1, <82)j = Kata2 (/) = Z\2 -j- 1/б-^12, 34/3/4-Подставляя сюда (72),
а также (71), находим PZa[3, (h, ^2, ^3, ^4) -
Ва - la, рВр ~г Vola, $y&BfiByBg -у Оа * (В) ^ *,
(22.73)
S
причем в силу (П7.5)
*"е(Я) = IiD(2S)o^)(B)4s)(B).
(22.74)
S
или, если учесть (62),
Zi, 2/2 + VeZi. 234/2/3Л =• U а? (7) E(s) (U).
(22.75)
$a(t)= I]a's,(/)E(s) (t).
(22.76)
= ( Ax, 3v6 ^3, av6 "Ь ^аЗ, vfi) ^ (^Ь Ab Аз> ^4) ===
" [-/'ao/a3v6 - ^3o/aav6 "b V3 (saavP^a6 ~r _f
-j- 2Scc|3a6^av H" 2sapYO^a6) "h Oxp, v^] 5 (t\, Ab Аз> ^4)
или в спектральной форме
P^i2, 34 = (2я) 1 [ Р\2?atof (кх2а3сс4 "b Vs 12Sat аа^а^ааг "Ь
-f- 2/3345а,а2сга4^сгаз) Т cafl, vs] ^ (Ю1 "Ь * " * "Ь ю4)-
Теперь учтем равенство Z12! 34 = Z12,34 - -^12? 34, которое в
силу
первой формулы (21.47) эквивалентно равенству
pZ{I? 34 = PZ12,34 -- Z12,34 - Z2, 134*
(22.77)
234
Используя также (63), будем иметь
PZis! 34 - (2л) [сар, у4 - 1/з^!234 (ЙЙ1 -f- iu>2 -)- 2/С0з + 2lC04)] X
X 6 (ffli + h co4)
= (2л)"1 [cap, y6 -f 1/9s 12.34 (i'coi + i(02 - гсоз - г'ш4)16 (cox -f •
¦ • to4).
Нетрудно проверить, что последнее выражение можно записать так:
34 = (2л) [<?а,а2а3а4 1/бР 12^а2Р ( ЙВгбр-у -f- <^р7) Гу6$а,6и3а4
- VoР34Sa,a2pa4 (Йй3бра3 4~ ^|За3)] б (СО] -j- - - ¦ -f- СО4),
(22.78)
где обозначено
9а1а2а3сх4 ~
" Са.ха2, а3а4 + Vo [Р\2Га] 4~ Р345а,а2Ра4 dpa.)- (22.79)
В силу первого равенства (25) и равенства eaepeve6sapve = sapy6, матрица
(79) обладает теми же свойствами симметрии (см. (10.22)), что и сар, 7б.
Учитывая это, легко убедиться, что функция (78), удовлетворяет равенствам
(67).
Теперь, используя (78), по формуле (68) можно получить
РТ]2|з4 = (2л) {(ia>i+Di) ] Ri (i(i>2D2) '^291234 (-Йй3 -)- D3) D3X X (-
ico4 -}- D4) 1 Ri 1/oP12 (йох 4" Di) 1 RiR<iS\23i (-ito3 4- D3) 1 x
X R-j(-i(i>i 4" D4) 1 Ri VoP3i (г?й1 Di) 1 Ri (i(i)2 4" D2) 1X
X JR2Si23i^3 (-ia>4 4- D^ _1 Rt) 8 (a)! 4- • ¦ • 4- co4). (22.80)
Тем самым интересующие нас функции найдены.
6. Диссипационно-неопределяемая часть четверного коррелятора.
Подставляя (80) в ФДС (69), точнее, в соотношение
|32 (В\, В2> Въ, 54)(2) = Л4[Я(234)У.(2!з4], (22.81)
получим спектральное выражение для диссипационно-неопределяе-мой части
четверного коррелятора. Чтобы найти полный коррелятор, остается сложить
выражение (65) с (81). Учитывая (65), (80) и (81), будем иметь
р3(Бь В2, В3, Bi) = (2л) 1 {.P(i234) [(й"1 + Di)~1fi23i X
X (-ia>2 I- D<>) 1 Ro ( шя -- D3) 1R3 (-i(o4 -j- D,,) 1 Ri -|-
4" ?1626364 (-ia>i - Di) 1 /1234 (но2 Д Do) 1R2 (гoj, - D3) 1 x
X R3 {i(i>4 + Di) 1 Ri - Xl2P(234) {N1234 + У4321)] Д ~\r Ph[P(234) (icoi
4- Dl) 1 R\ (iu>2 4" D2) 1 ^2<?1234 X X (-ia>3 4- D3) 1R3 (-ia>4 4~ D4) 1
D4]j 6 (co4 4" • • ¦ 4~ "i)- (22.82)
235
Здесь использованы обозначения (66) и приведены подобные чЛены,
содержащие s1J34. От спектрального представления можно перейти к
временному. Это дает
Р"<ВЬ Вг> В" Bt) =
= Д(1234) || Vi (tio) /1234V2 (/02) RzVз (/03) R3Vi (Д) Ri dto 4-г j
Vi (/01) /12.34 E2 (/20) R2V3 (/30) R3V4 (/40) X
X R4 dto - ^/iR(234) (M1234 + ^/4321 )j 4 -j- Рц j/^i) j V1 (/m) R1V2
(/20) Д71234Е3 (too) RoV4 (/04) Д d/oj > (22.83)
где
•(4i234 = El (/12) /?l/?2S12;i4E3 (Д) ДЕ4 (Д) Rit
Mi32i = MlW = V4 (/42) Д E3 (/32) Ros402lR^ 1 (/21) R\ ¦
В выражение для коррелятора войдет гораздо меньшее число членов, если
ограничиться рассмотрением области /4 > t2 > t3 > /4. Исследуя "области
влияния" тех или иных членов, входящих в (83), нетрудно получить
Р3 (Bi, В2, В3, Вц) =
= j Vi До) /1234Е2 (/02) R%V3 (t03) Д E4 (/04) R4 dt0 "Г
4 ^62^364 j E4 (/04) /4321Е3 (/30) R-N2 (/20) ДЕ 1 (/10) Ri dto
V2 (-3^1234 -j- M1234) J Ei (/10) 7?iE2 До) Rtf1234E3 (t03) R3V4 (/04) R4
dto
(22.84)
при /4 > t2 > /3 > /4. В первом члене в правой части интегрирование по /0
ведется от t2 до Д во втором - от /4 до t3, наконец, в третьем - от t3 до
t2. Это интегрирование можно произвести методом, который применен в п. 2
(см. (33),(34)). Это приводит к выражению
р3(ВЪ В2, В3, В4> =
== ДхДцг (tl, t'2: t3, t\) Г}rj,T [-Eie283e4//C!4>viiv (-/4. -to, -to, -
1\) Г%а/^а/va,
4 Ha,a2\4V (tl, to, to, /4) C|ia3Ava4 1/i (E (/12) R)a,n Ta2vS|ivpo (E
Дз) R)pa3 (E Д4) R)aal - 7" (E (/13) (E Дз) R)a3v ""vp/pa, (E (Д) /f)oa4
(22.85)
236
при tx > > t3 > t4, где
^1234 ~ m1234^2 (^12) V3 (Ьз) Уi {hi) ~ ^1 (W ^1234^3 (^2з) ^4 (W.
(22.86)
H'\23i - Vl (^2)^1234^3(^23) ^4 (^24) - Vl (/13) V2 (^23)^1234^4 (^34)
при ^ > t2 > ^з > 4, а матрицы mi234, т[2з4 определяются уравнениями
^осо^ср-уб та0^6^ар ffl-ufiobd'Oy Ма&уО^об /ару6 '
л ' \ л ' ' sj ' sj (22.87)
^ою^оЗуб "г фзс/Щсоуб Mafia&иау magуа^аб = 7ар7Зо^рЧуб-
Результат (85) можно получить также при помощи кинетического уравнения.
7. Определение четырехиндексных производных от корреляторов по силам.
Рассмотрим сначала производную
б (Вь В2)/Ш3 6Й4 |я=0 = Р)2. 34 = ^12! 34 "г Pll! 34-Используя первую
