Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(22.12)
где L = || h, p ||, R = || ryp jj. Обозначим
D, pSppa -j- /у, руГppTya = /тро (22.13)
и подставим в (12) равенство /Т;3у = (/Tpa - /t,pSppcj) Трр^. После этого
члены в фигурных скобках, содержащие /фро, можно объединить, используя
равенство
(-йо _)_ д)-1 ? _[_ $ = (-fco + D)'1 [L ф- (-ко - LR-1) R] =
= -/со (-('о f О)-1 ^ (22.14) (учтено (5)). Вследствие сказанного формула
(12) приводится к виду
(jp, vX ((r)ъ (r)2> (r)з) =
= (2л)"1/2 (к01 + П)рг {/тра/о)2/со3 ((- tco2 ф- D)"1 ??)pv X X (( i'(r)3
I" D) R)n, /t, p^poo [r,lV ( ko:l - ] D)ay ly x ф-
Ф~ ^px (-l'M2 Ф" D)ay /и, v ф~ гр\'Гох] ! 6 (со, ф~ (02 --j- (Оз).
(22.15)
Еще раз используя (14) для преобразования трех членов, стоящих в (15) в
квадратных скобках, получаем окончательно
<J1, 23 = (2л)"1/2 {(((01 + д)а[т /тра/(02((0з X
X (( (ft>2 ф D) 1 R)ра2 ((-(ft>3 ф- D) 1 R)aa, Ф"
ф- ко3?/123 |- ko2Ui32 ф- 1Е103) б ((Oj ф (о2 ф- (о3), (22.16)
где обозначено
/N
Е/(23 = (KOl Г El)a{t /т, pSppa^рсг2 (-КОз Ф^ D)aA ГХа3> (22.17)
Л /N Л /ч
1^123 = (кщ ф- Е>)"{т /т, pspp0/-pa/a"a = (icoi + Dl)'1 LiSi23^2/?3-
(22.18)
Отметим, что в (17) множитель ((-йо3 ф- D)_1/?)aa3 можно перенести
направо от SpPCT, после чего это равенство примет вид
Еф23 = ((гс°1 + Dr L)at Р (R (-('(03 ф- DT)-1)a3a SpprXра:1 ~
= (/(О) ф- Dj) LiR3 (-('(о3 ф- D3) 1 S\23R2- (22.19)
Итак, мы нашли линейный и квадратичный адмитансы в спектральном
представлении.
223
2. Двойные и тройные корреляторы в марковском случае. Теперь,
используя флуктуационно-диссипационные соотношения, .выведенные в § 17,
нетрудно получить двойные н тройные корреляторы. Подставляя (10) в
формулу (17.11), взятую в спектральном представлении, т. е. в формулу
(В\, В2) = [Gcc,, а2 (Ы|, Ы2) - Оаг, а, ("2, COl)],
и учитывая, что
(гсо, -ф D)'lL - Ь (-/(О! + DT)~l =
= (г'сог -ф D)_1 [В (-ко! - RLT) - (и"! - LR) 2Т] (-/сох 4- Ьт)-1 =
= -/СО! (/031 + ¦D)"1 (В + Вт) ( -г'"1 + ПТ)-1
(использовано (6)), находим
(Bi, В2> = -kT (/coj -j- В)) 1 (L -)- LT) (-.'coi -)- DT) 16 (coi -ф
co2).
(22.20)
Этот результат соответствует спектральной плотности
SaP (со) = -КГ ((/со -ф D)-1 (В + Ь) (-/со + DT)-i)ap.
Данное равенство, естественно, совпадает с формулой (12.8), полученной
ранее другим методом.
Теперь подставим (16) в ФДС (17.47) при рг = /сог и найдем тройной
коррелятор в спектральной форме:
|32 (Bi, В2, В3) =
= (2л) ^ В(123) {(/coi -ф /ф) /1 гз (-г<й2 -ф В>г) Вг(-гсоз ф- В13) * В3
-ф "Ь е1е2е3 ( гС01 Д" Вф) 1 /123 (,С02 Ф~ ВФ) 1В2 (/со3 ф Вф) 1В3 Д-
+ ((Ыг) (Д123 - Д123) ~Д (йо3) * 132 - ВДзг) Д-
~ф (/со2/соз) 1 (Ц7[2з -ф Ц7фз)) 6 (сох -ф co2 -ф соз). (22.21)
Здесь, как обычно, В(12з) обозначает сумму по циклическим перестановкам
индексов 1, 2, 3; при записи первых двух членов применена та же
сокращенная матричная запись, что и в (18), (19). Учитывая равенство
(Pi + Щ 1D = 1 - /?i (/?i -ф D) 1 = 1 -ф (р2 Д- р3) (/?! -ф D)-1, имеем
Р2 Рз (.Pi -ф Bl) D = Р2 Рз -ф (Вз Д- Р2 ) (/й Д~ Bl) . (22.22)
Учитывая (22) и (5), при подстановке (18) в выражение /фт) У X /СО3)-1
Ц7123 получаем
В (123) (/сог/соз)-1 U7i23 =
= В(123) {[(/С02)-1 г (/соз)'1] (/со! -ф Д)-1) B1B2B3S123, (22.23)
224
поскольку Я(123) [cor'coj1] = corWcoJ1 (ffli -f co2 + СОз) = о в силу
условия о"! "Ь С02 "Ь <**3 =
Из (23) находим
Р\ 123) (Ш2Ш3) 1 4^123 -
= -Р(123)е1е2ез [(?(r)г) 1 ~Ь (гсоз)-1] (-гсо1 tDi) 1R1R2R3S123.
(22.24)
Имеют место соотношения взаимности
еШе = RD\ е (/со 4- Dr1 Re = R (ко f DT)~\
Л ~ Л ~ (22.25)
е (/со + D)"* Le = LT (?0) -]- DT)_1.
Первое из этих равенств эквивалентно соотношению eLe = LT, т. е.
соотношению (10.11), второе следует из первого, третье эквивалентно
соотношению взаимности (17.32). Используя второе равенство (25), а также
равенства
eRe = R, EiE2^283^3S123 = ^2^3ele2e3s123 ~ ^2^3S123> (22.26)
основанные на условии временной инвариантности свободной энергии, т. е.
единовременного равновесного распределения, приводим (24) к виду
Р(\2Ъ) (ССО21С0з) * H7i23==
- Р( 123) [(?С02) -|L (1CO3) 1J (-KO.+D0 /?2^?3s123- (22.27)
Суммируя (23) и (27) и перегруппировывая члены, будем иметь
Р(123) (г(r)2'Ч*з) * (W123 _I" 1^12з) =
= -123) (гмг) * {[(Ic°i+7)i) 1 /?з - /?з (-гсоз -j- D3) *] Ri -)-
+ [(гсо3 + Пз)"1 Ri - Ri (-Uо, + Dl)"1] tf3} smR2. (22.28)
Перейдем к рассмотрению тех членов в (21), которые содержат U123.
Перегруппировывая эти члены, имеем
^(123) [(г<"2) 1 123 - С^гз) + (йо3) 1 (Di32 - Din32)] =
= Р( 123) (^2) * [(П123 - Щы) + (П321 - U\2з)]-
Подставим сюда (19) и соответствующее сопряженное по времени выражение
6^123 - L\{-гс°1 + Dl) * (tC°3-f П3) /?3S123^2>
полученное при помощи (25), (26). Это дает
Р(123) \Р23 [(^2) * 123 - С'ш)]} =
= Р(123) (гсог) 1 Р\з {(гол -f- D\) 1 L1R3 (-гсо3 -j- D3) 1 -
- (t'coi -f- Dj) 1 R\Ll (-гсо3 -)- Dl) '} si23R2 = = -P(123) (to2) 1 D13
{R3 [(7coi -f- Di) 1 Di (-гсо3 -}- D3) 1 -
- (toj + D,)-1 D5(-to3 + D3)_1] R\} smR2. (22.29)
8 P. Л. Стратонович 225
Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно записать так: (tcoi -|-
