Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
¦ г ( г'(c)3 г А) 1 /321 (г'(c)2 ' А) 1 А (г(c)1 А А) 1 Ri -
1/гР 12 (2ЛГ123 А Азг)) б ((c)i -j- со2 А (c)з)- (22.55)
Здесь использовано равенство (54). На этом вычисление трехиндекс-ных
функций закончено.
4. Определение четверного коррелятора. Его диссипационно-определяемая
часть. В предположении отсутствия квадратичных эффектов
феноменологическое уравнение в рамках линейно-кубического приближения
имеет вид
Ал - -^арЛр А 1/|з/аР?бЛрЛтЛв. (22.56)
Свободная энергия в том же приближении представляется в виде
Р (Л) = V/арЛаЛр А ЧгАрубЛаЛрЛуЛб- (22.57)
Если формулой
Аа (Л) =¦/ДрЛр -j- V 18^аР7б Л р Л ^ Л б (22.58)
ввести параметры А'а, то, как легко проверить, в рамках выбранного
приближения они будут удовлетворять равенству (39). Используя (58) и
(57), получаем
Аа - Ар А Ч^аРубЛуЛб) (- dfoAp 4- Чб/рротЛрЧаЛт) =
= -rafodfryAy А VeAp/Wsp - Sap76^pp) Л11Л6Лр А ' ' (22.59)
231
Как и в предыдущем пункте, А'а имеет смысл силы, сопряженной с параметром
(44). Вводя внешнюю силу, сопряженную с этим параметром, получаем
уравнение
Аа На 'fafidfiyAy }~ /с, (Гар/Рз'бр р7бДр) АуАрАр (22.60)
или, если сюда подставить (58) и поменять Аа на Ja, a d/di на р,
На == Safi (pSpv _|~ Ду) '/v V < /г/4 > /ор\6 'VV 7 V ~Г
+ VeW/eHjp 1- dpP) JP- (22.61)
Сравнивая это равенство с равенством (20 5), записанным для переменных с
волной h, J, Z, ..., получаем, кроме указанного в (48) линейного
импеданса, кубический импеданс
Z\, 234 - ( ^'alp/po^asP-i ~Г
"Г 1/3^>(234)sa,Pa30'.4 (-Pit + 1 б (^1, ti, t3, U) (22.62)
(временная форма) или
Za" а2а3а2 ((r)1> - • • > <Щ) -
= (2л) 1 { Га11р/ра2а3к1 1/з^>(234)sa,pa3a4 (1СО2/ "(- Д)рК2( X
X 6 (C0i -f С02 -f С0а -f С04) (22.63)
(спектральная форма). Здесь произведена симметризация (по индексам 2, 3,
4) несимметричного члена. Теперь по формуле
К1, 234 = -КjZj, 231К2Кк К4,
получаемой из третьей формулы (20.4) при Zlt 23 = 0, находим при помощи
(50) и (63) соответствующий адмитанс
К1,234 - (2л) 1 (гол -(- Dt) 1 х
X {/1234 ( JC02 ~г Dt) 1R2 ( *(r)s + АО 1R3 ( гсо4 -(- ?>4) 1 R^
- х/зP(234) [^xsi234^2 ( 1Щ ~V D3) 1R3 (-гсо4 | - Z)4) 1 /Д] | X
xfiK-j +(r)4)- (22.64)
Далее, применяя третью формулу (18.77), можно найти диссипа-ционно-
определяемую часть четверного коррелятора (Д, ..., /4) = = (В 1, ...,
В4). Получаем
(i3(Bi, Bi, В3, В4)(1) = (2л) 1 P(i234) {(tcoi -(- Dj) /1234 X
X (-к02 -j- D2) R2 (-(0)3 -(- D >) R3 (-(0)4 -|- D^) R4 \-
"V 8Xe2e3e4 ( IC0X Д- Di) 1 /1234 (tC02 I D2) 1R2 ((co3 -|- D3) 1R3 x
X (/CO4 "Г D4) 1 R4 -• l/3P(234) (R1234 -j- R4321)} 6 (<х>1 0" (c)2 ~Ь (r)3
~f" (r)4)> (22.65) 232
где
^1234 ("Н i ДО ' RlR?.S123i ( t<Bs г Ds) 1 /'?.') ( Йй4 -f- Z)j) 1 /?4,
(22.66)
Л^4321 = ((?04 Ь * /?4 ("О3 Г D3) 1 ^3^1234^2 ( 'Ml ' Д) Д = '^1234-
5. Диссипационно-неопределяемые функции ZЛ? 34" ?12?34-
Четырехвременный коррелятор определяется не только импедансом (62), но и
диссипационно-неопределяемой функцией Zf2^, которая согласно первым
формулам (21.48) в неквантовом случае обладает такими свойствами
симметрии:
/(2)________ у(2)__ 7(2)__ /7(2) \в /пп от,
*•12,34-222Г, 34 - 2312,43- , \2) • (ZZ.0/)
Функция Zi2?34 по формуле
Y($M = Y,Y2Z\luY,Y,u (22.68)
которая эквивалентна (21.36), определяет диссипационно-неопре-деляемую
часть функции Yx 2, 34 = б2 (Въ B2)lbh3bht при h = 0. Если известна 34.
то по третьей формуле (18.76) можно найти диссипационно-неопределяемую
часть коррелятора
Р2 (У,, /2, /з, Л>(2) = Р(234) (Y\ll 34 + ^З2! 4.)- (22.69)
Найдем функцию Z{2?34 в рассматриваемом случае. В п. 3 указывалось, что
Аа играет роль силы х'а, сопряженной с А'а. Поэтому уравнение (59), т. е.
уравнение
Аа = /", рЧр -)-1/6/", рубАр,АуА&, (22.70)
где обозначено
^а, р = ^aydyfii Д Pv6 = Cw/aPv6
/з ($аау6^а$ "Ь ^а^аб^су "Ь За$уо^об)> (22.71)
есть частный случай уравнения (11.5) при функции (11.31). Применяя
марковские ФДС (10.9) и (10.23), находим флуктуационные коэффициенты
/ар = -2kT(r)afil'a, р,
/ар, уб == kT ( /а> pYg /р, аув "Н Сар, уб)-
Здесь cap)V6 - диссипационно-неопределяемая матрица, обладающая свойством
(10.22) и симметрией по индексам а и Р (а также по у и 6). Используя
(11.35), теперь можно восстановить коэффициент кинетического уравнения:
tfap (В') = /(ip 1/2kT (-l'a, 3v6 - /р, ave + Cap, уб) ByB6. (22.72)
Строго говоря, согласно (11.35) вместо ВуВ6 следовало бы писать BVB6 - kT
дВу/дВ'б. Однако второй член относительно мал, и мы им пренебрегаем.
Запишем теперь стохастическое уравнение (см. приложение 7, уравнение
(П7.3)), соответствующее уравнению (70). Игнорируя
233
(благодаря малости шума) разницу между симметризованным стохастическим
уравнением и уравнением в смысле Ито, будем иметь
Совершая в (73) переход, аналогичный переходу от (60) к (61), получаем
Это уравнение есть не что иное, как уравнение (21.4), т. е. уравнение
взятое при нулевых внешних силах. Следовательно, входящие в (21.4)
стохастические силы <% в данном случае имеют вид
Предполагая здесь J и |<s) статистически независимыми, т. е. рассматривая
