Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
из уравнений
(р1 4~ р2) Ф<2> = 0, (Pi + Р2 + Рз) Ф<3) = - рМ3) = о
(pi =d/dti). Отсюда получаем такую произвольную функцию:
/ (4, к, к) = ф<'> (/24, /34) 4- Ф(2) (к2, tM) + ф") (t12, ti;>).
(16.70)
Рассмотрение других членов в (66) приводит к добавлению в сумму (70)
других членов того же типа. Члены разности -
- (Въ В2, В3, В4)0 (см. (ПО)) относятся к допустимому классу произвольных
функций. Поэтому в (66) слева с равным успехом можно поставить коррелятор
(Ви В2, В3, Bi)0 = (Г^Г^зР^ 4~ Г12Г124Г1243 "4 + Г13Г132Г1324 4~ НТзГ
134V1342 + Г14Г142Г1423 4- ГнГнзГнзг)- (16.71)
7. Тождества, которым удовлетворяют операторы Г*. Операторы Г±,
определяемые посредством (54) и (58), являются во временном представлении
функциями от оператора дифференцирования.
156
В спектральном представлении оператор дифференцирования р переходит в ш.
При этом Г± (р) принимают характер числовых множителей Г± (гсо).
В дальнейшем будет использован ряд тождеств, которым удовлетворяют Г+, Г-
независимо от выбранного представления. Простое тождество мы получим,
если в (54) поменяем р на -р и учтем (58). Это дает
Эту формулу можно записать как Гг + ГГ =0 при р\ + Рг = 0.
Непосредственной проверкой, исходя из определений операторов Г±, можно
убедиться в том, что справедливо тождество
при pL + р2 + р3 + pi = 0. Очевидна однотипность структуры трех
приведенных тождеств.
Иногда полезны легко проверяемые равенства
Если р\ -Г р2 + рз + Pi = 0, то ГГз = -Г24 в силу (72). Поэтому выражения
в правых частях (76) равны; следовательно, можно приравнять и левые
части. Отсюда находим
при рг + Рэ + Рз + Pi = 0. Умножая (77) на ехр (iftfip4), находим также
г+ (~р) = - г- (р).
(16.72)
гпт -К гггг + ГМ = о
при р± + р2 + р3 = 0, а также тождество
(16.73)
ГГГГГГ + ГГГГГГ + rtltrr + Г^ г2+г3+ = о
(16.74)
Г^ + гг = Г г + г2+ = Г, + г2,
где Г = Г+ - V,.
Наконец, имеет место еще группа тождеств:
(16.75)
(16.76)
(16.77)
Гз-Г4+Г21 = _Г^-(Г3-Г4+ + г2+г4+ + ГГГы)
(16.78)
при Pi + р2 + Рз + Pi = 0.
Приведенных выше тождеств нам будет достаточно.
157
§ 17. Линейные и квадратичные ФДС второго рода
1. Линейная флуктуационно-диссипационная теорема (ФДТ).
Установим формулу, связывающую коррелятор (Вх, В2)0 и линейный адмитанс
G1)2¦ Используя вторую формулу (16.57) в корреля-
торном варианте типа (16.56) при В - Вл и D - В2, будем иметь
(В1г 52)о = -ГГ([51, Я2])0- (17Л)
Из равенства 1]12 + r|21 = 1 (щг - Л (-12)) Еытекает тождество
([Вх, В2])О = Я12 "Ь ^21> О7'^)
где
й12 = (l-Sli ¦(r)2])o'rll2> ^21 = ¦(r)2])о'Т121- О7-^)
Функции аы, Ьы, отличные от нуля лишь при 4 > tu будем называть
парциальными. Поскольку [Въ В21 -- [В2, В^, из (3) имеем b21 = -"21;
поэтому равенство (2) можно записать так:
([Bj, В2])о = "12 "21- (17-4)
Используя формулу (16.42) при т - 2, вследствие (3) имеем g12 = = (ПК)
а12. Если еще учесть, что g12 = Gll2 (см. (16.41) и (16.6)), то ai2 =
(ft/i')Gi,2, и по формуле (4) будем иметь
{[Вг, B*])o = -7-(Giia-G!!,1). (17.5)
Подставляя (5) в (1), получаем искомое соотношение (ФДТ)
(Вь B2>0 = iMT(G,,2-G2,,). (17.6)
Если записать аналогичное равенство, но с переставленными индексами:
(В2, Bi)B=tftrr(G2l,-GI>2) (17.7)
и сложить его с (6), то будем иметь
([Вь B2]+)0 = tft(lT-rr)(GIl2-G2>i). (17.8)
В силу стационарности равновесный коррелятор и функция G1)2 зависят лишь
от разности времен G - t2, поэтому р2 = -рх. Учитывая (16.72), имеем Г2 =
Г+ (-/ц) ==-Г" (pi). Вследствие этого равенство (8) принимает вид
х/г ([Bi, В2]+)о - -гйГх (Gi,2 - б?2,1) -/ЙГ2 (Gi, 2 G2,i),
(17.9)
где
Г (Р) = х/2 [Г+ (р) + Г- (р)] = Г+ (р) - 1/2 = х/2 cth (VaiPftp) (17.10)
(использованы (16.54) и (16.58)). Равенство (9) представляет собой одну
из формулировок линейной ФДТ, установленной Калленом и Вельтеном [211.
158
Если в (9) устремить ft к нулю, то получим неквантовую формулу
(.В\, В2)0 - -kTp[l(Gi'2 - G2,1) =
= kTP2{ [G0l> а2 (tl2) ~ G"2, ttl (ф)]. (17.1 1)
Оператор pZ} в правой части во временном представлении, естественно,
означает интегрирование по t2. Уточним пределы этого интегрирования и
вместе с тем уточним аддитивную константу, которая, как указывалось выше,
подразумевалась в приведенных формулах. Предполагая, что Ga" a2(tv2)
0 и (Въ В2)0 0 при tV2-> 00,
будем иметь
12
(Ва, (tl), Ва2 (О)0 = кТ } Ga,, к2 (б - О <^2
- оо
при ?2. Здесь использовано то, что член с Gtt2, а, (t2 - ti) не
сказывается на результате, так как он равен нулю при t2 < t\.
На спектральном языке формулу (9), учитывая, что рг = ia>1 = = г со = -
ао2, можно записать так:
S"p(co)=-f-cth (-^-) IG". Р(ш) - Gpt"(ш)], (17.12)
где ' ¦
S"3 (со) = [ ехр (-Ш1г) V2 <[Ва (G), (*2)]+}0 dt12,
(17.13)
G'a, р (со) = J ехр (-Ш12) Ga, р (tl2) dt\2.
Звездочка в (12) обозначает комплексное сопряжение; предполагается, что
Аа, ha, а следовательно, и Gtt)p (tl2) действительны.
В заключение этого пункта приведем еще одну форму линейного
флуктуационно-диссипадионного соотношения, а именно, ту форму, которую
