Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ж (г, h (0) = Ж0 {z) - ? Ва (z) К (0 = ^0 (г) + V. (16.1)
ОС-I
Здесь Ж0 (г) - не зависящий от времени гамильтониан, задающий эволюцию
системы при нулевых силах, h (t) = 0. До сих пор мы считали, что
рассматриваемая система эволюционирует при отсутствии сил, теперь будем
считать, что она эволюционирует в соответствии с гамильтонианом (1), т.
е. что ее эволюция задается уравнениями Гамильтона с гамильтонианом (1).
При этом характеристики процесса \Ва (t)\ будут зависеть от ha (t). В
частности, среднее значение Аа (t) = {Ва (0) будет функционалом от ha
(t). Разлагая этот функционал в функциональный ряд Тейлора, будем иметь
Aai \ti, h] - Aai J Ga,, a2 (t[; t?) ha2 (t^) dt2 -f-
j" Gau a2rx3(tu ^2> h) h-a2 (h) ha.3 (h) dt2 dt3 -f- • • •, (16.2)
+4
причем
бш_1Аа. [G, h]
<**.. ". - "-№: •> S;w "p"щ s °-
(16.3)
Функции (3) будем называть адмитансами.
Обозначая, как и в предыдущем параграфе, каждую пару (ау-, tj) одним
индексом /, разложение (2) при равных нулю равновесных средних Аа можно
записать в более короткой форме:
Ах = Gj, 2^2 "Ь Va^X, 23^2^3 + VeGl, 234^2^3^4 "Ь ' ' ' (16-4)
145
Из (3) видно, что адмитансы симметричны по индексам, стоящим после
запятой, например,
^1,23 = ^1,32, Gi, 234 = Gl, 342 = @1, 132- (16.5)
Аналогичным свойством будут обладать и другие вводимые в дальнейшем
функции. Далее из соображений причинности следует, что
Gi,2...m = 0 при < max (t2, (16.6)
Наряду с адмитансами (3) можно ввести видоизмененные адмитансы
El, 2 ... т =' ~^G\, 2 ... т = PlG\, 2 ... т- (16.7)
В некоторых случаях пользоваться этими адмитансами предпочтительнее.
Дифференцируя (4) по времени при учете (7) будем иметь
Л = ^1,2^2 + V21^1, 23^3 ¦ b Ve^l, 234^2^4 + ''' (16.8)
Это видоизмененная форма равенства (4). Входящие в него производные J1 ==
(d/dtx) Alt а также неусредненные производные Jx = = (d/dt1) Вг будем
называть потоками. Видоизмененные адмитансы (7), естественно,
удовлетворяют условиям причинности, аналогичным (6).
2. Адмитансы в спектральном представлении. Если в формулах (4),
(15.4), (15.59) и др. под индексами 1, 2, ... понимаются пары ("!, (i),
(а2, t2), ..., то будем говорить, что эти формулы взяты ео временном
представлении. Под этими индексами, однако, можно понимать также (аь
coj), (а2, а>2), ..., что соответствует спектральному представлению.
Формулы, записанные при помощи числовых индексов, не меняются при
изменении представления подобно тому, как не меняются при изменении
представления основные формулы квантовой механики. Чтобы имелась такая
инвариантность, переход к другому представлению должен совершаться
согласованным способом, к описанию которого мы переходим.
Интеграл -J V dt от вычитаемого члена в (1) коротко записывается так:
h1B1. Излагаемая теория инвариантна относительно невырожденных линейных
преобразований (не обязательно действительных):
В\ ->Л[В2. (16.9)
Чтобы выражение B1hl было инвариантным, вектор /гх должен быть
контравариантным, если вектор Вх считать ковариантным. Его лучше
записывать h1, а не Вектор х2 в формуле (15.4) и др. также лучше писать
х2. (Форма записи hlt хг применена выше только потому, что верхний индекс
можно спутать со степенью.) При преобразовании (9) контравариантные
векторы преобразуются так:
Л1 - Л2Дг = (Дг)т (16.10)
где ДгЛ? = /|-тождественный оператор. Адмитансы являются
при этом ковариантными тензорами. В теории присутствуют также
146
И контравариантные тензоры: импедансы Qu 2 ¦¦¦ т, Z1-2 ••• т, которые
будут введены в § 20.
Примером преобразования (9) является переход к временным спектрам:
В, = В", (coj) - (2л)"1/2 j ехр (-/coi/,) В", (U)dtu (16.11)
а также переход к пространственно-временным спектрам:
Bi = Ви (ku coi) = (2л)"2 J ехр (-mt\ -f ikxr\) Bh (ги U) drx dtx
(16.12)
(см. приложение 6).
Последний применим в том случае, когда среди а есть радиус-вектор г (а =
(/, г*)). Преобразования (11), (12) выбраны унитарными. При этом (в
случае 11)) преобразование (10) контравариант-ного вектора будет таким:
h1 = ha' (со*) = (2л)"1/2 | ехр (ко^) hai (A) dtx. (16.13)
Адмитансы как ковариантные тензоры должны преобразовываться так:
Gi, 2 ... т = Gax, а2 ... ат (йь . . ., (От) =
= (2л)~т/2 | ехр (-mxtx - - • • -i(omtm) Gav аг ... а.т X
X (к, tm)dti ... dtm. (16.14)
Формула (4), точнее, формула
Аг = G1( 2/i2 + VaGi, 2,hW + ¦ • • (16.15)
и другие формулы при переходе к спектрам, как и при прочих
преобразованиях (9), остается инвариантной. Если (15) записать подробно,
то будем иметь в спектральном представлении:
Аа ((r)i) = | Ga> р (%; co2) hP (со2) dcо2 -(-
+ 7г1 Ga, pY (С0ь со2, со3) hP (со2) К1 (со3) cb2 dcо3 +
Контравариантный тензор, скажем, Q1'2 в соответствии с (13) в
спектральном представлении вводится так:
Q1' 2 = (2л)-1 j ехр (гЧА + гсо2А) Qai' (A, t2) dtx dt2. (16.16)
Известно, что верхние индексы можно опускать при помощи метрического
тензора gia:
К =gi2h2, Q12 =glsg2iQ3i. (16.17)
В спектральном представлении (11), (13) в роли метрического тензора
