Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
имеем равенство
V?23 = Vl23. О7-38)
Подставляя сюда разложение (37), можно выразить функцию b через
а. Поскольку а(r),3 отлично от нуля лишь в области t3 > t2 > flt полагая
в (38) ts > t2 > fi, получаем равенство
<2^23 = Й321 "Ь ^321- т- е- ^123=Й321 Й123- (17.39)
Рассматривая в (38) другие области, кроме того, будем иметь
^231 = b 132-
Последнее равенство можно получить и из (39). Следовательно, оно не
является независимым и его можно опустить.
Подставляя (39) в (37), получаем
Vv23 -= а123 - а,13 + а132 - а231 + в. с., (17.40)
где в. с. обозначает сумму тех же членов, сопряженных но времени.
Воспользуемся теперь формулой (16.42) при т ^ 3. Подставляя в нее (40) в
качестве ([[Blt В21, В3])0, находим
Gl, 2ЗЛ12З = (ilh)2'Q 123-
Вследствие симметрии G1>23 -----01>зг (см. (16.5)) отсюда получаем Glli3
¦= -Г2 (а123 + а132). (17.41)
Учитывая это равенство, формулу (40) можно записать в виде
Уш = -Йа(01,м-02,1# + в.с.). (17.42)
Итак, входящая в (33) функция У123 выражена через адмитансную функцию
G1>23. Благодаря этому через G1j23 можно выразить искомый равновесный
коррелятор (Въ В2, В3)0 гг G123. Подставляя (42) в (33), находим
G 12з = fi2Yt {Г3 (Gi, 23 + Gf, 23 - Gg, 13 - Gf, 13) -f-
IY(Gi.23 ' Gf, 23 - G3.1, G.i. 12)'. (17.43)
Используя (16.73), эту формулу можно привести к симметричному виду
G123 = (В\, Вг, Вз) =
= -П2 [ГГГ3" (Gi. 23 + Gf. 2з) + Г^ГГ (G2, ,3 + Gl >з) +
+ г№ (G3,12 + GI 12)1. (17.44)
Это равенство есть одна из формулировок квадратичной ФДТ. В таком виде
оно было получено в 1970 г. [48]. Отметим, что в случае временно-четных
параметров (когда все еа = 1) в спектральном представлении вместо Gk, im
+ G\, im можно брать 2Re G*, tm, поскольку предписываемое операцией
временного сопряжения изменение знака
165
у частоты приводит к комплексно-сопряженному адмигансу. Как отмечалось в
п. 16.4, той же самой формулой (33), а значит, и (44) определяется
равновесный момент.
5. Другие формы квадратичной ФДТ. Из (43) или (44) нетрудно получить
также формулу для симметризованного коррелятора
Gl2(tm) = lU Ж 23 + Gl32 + G23l + G321),
что совпадает с V4 ([Въ [В2, S3]+]+)o в случае (В)0 =0.
Во временном представлении операторы Ви = Bah (th) эрмитовы, поэтому в
этом представлении
G12зш = V2 Re(Gi23 -|- G132).
1/4 ([Si, (В2, S3]+]+)0 = 1/а Re (В ][S3, S3]+)o- ( }
Из (43), учитывая (10), находим
Va (G123 + G132) = й2Г|' (Г3 (G1,23 + Gf, 23 - G2,13 - G2,13) +
+ Г2 (Gi, 23 + Gi, 23 - G3,12 - G3,12)}-
Это равенство, взятое во временном представлении, подставим в (45).
Поскольку адмитанс Gj,, гт во временном представлении действителен, а
операторы Г+, Г в этом представлении согласно (16.54) и (10) обладают
свойством
[Г+ (р)\* = Г+ (-Р) = -Г" (р), [Г (р)]* = Г (--р) = -Г (р), после
указанной подстановки будем иметь
G^3m = П2ТхР23 [Гз (G,, 23 + Gf. 23 - G2.13 - G2B 13)], (17.46)
где Раз обозначает сумму по перестановкам индексов 2 и 3. Разумеется, эта
формула справедлива не только во временном представлении.
Последняя формула (для четных по времени операторов и в спектральном
представлении) была получена в [17].
Перейдем в полученных формулах к неквантовому пределу й -*• 0. Поскольку
ИГ*kT (ip)'1, ЙГ -*• kT (ip)"1 при й -"• 0, как это видно из (16.54),
(16.58), формула (44) или (46) перейдет в такое неквантовое соотношение:
G123 = (Sl, S2, S3)o = (kT)2 P(№) [/>2 1Рз 1 (Gl, 23 + Of, 23)]>
(17.47)
Где P( 123) обозначает суммирование по циклическим перестановкам индексов
1, 2, 3. В частности, для операторов Ва, четных по времени, в
спектральном представлении из (47) имеем
(Ва, (co'l), Ва, Ы, Ва, ("03))о =
ess г-2 (kT)2 Р(1гз> Жз 1 Кб (С01, Wg)] 6 (tO{ 4- Юз "Г
(r)э)"
(17.48)
166
где
В а (со) = (2 л)-1/2 ( ехр (-i(of) Ва (t) dt,
Ga,0v((r)b (c)2) =
= (2л)-1 "2 j ехр (-i<oyt13 - ia>2t23) Ga, Pv (ty, t2, t3) dt13 dt23.
Если во временном представлении продифференцировать обе части
(47) по tr, t2 и t3, то получим
фи В2, В3)0 = (Jи J2, /3)0 = (kTf />(1,2з) (Yi,23 - Yi, 23)> (17.49)
где согласно (16.7) Klj23 = (d/dty) Gi, 23 = PyGy,23. При выводе (49)
учтено, что (pyGUM)B = p*Gl,23_ = -PxGf<23.
В (49) коррелятор {By, В2, В3)0 равен моменту (Вх В2 В3)0 даже при не
равном нулю равновесном среднем (В;)0. Это объясняется тем, что
равновесное среднее от Bi равно нулю.
Равенство (49) является повсеместным, т. е. справедливо при любых
соотношениях между временами ty, t2, t3. Если взять область, где эти
времена упорядочены, скажем, справедливы неравенства t\ > t2 > t3, то в
выражении для коррелятора следует учитывать меньшее число членов:
рфм, By(ti), Bb(tb))0 =
== К*, 76 {ty, t2, t3) ya ( t3, ^2> ty) (17.50)
при ty > t2 > t3. Прочие члены, как легко проверить, дают в этой области
нулевой вклад.
Физическая система является перемешивающейся, если различные корреляторы,
в том числе {By, В2, В3)0 и {By, В2, Вз)о, стремятся к нулю при
бесконечном увеличении модуля хотя бы одной разности U - tm времен,
соответствующих входящим в коррелятор операторам. В случае
