Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
предложил Кубо в 1957 г. [26]. Чтобы вывести ее из (6), подействуем на
обе части этого равенства оператором (Г2) 1 = = - (ГГ)-1, который в силу
(16.54) равен - [1 -ехр (-гр/ф^]. Получим
iti (Glj а - G2; i) = [1 exp ( фй/?]}] (B2, B2)0.
Пользуясь временным представлением, рассмотрим область t2 > tp, в ней
адмитанс G1i2 равен нулю. Учитывая это, а также тождество
3
рг | dk ехр (-ikhpi) = (гй)-1 [ 1 - ехр (-фйуф], о
будем иметь 3
G2,i= } dkexp(-iHkp1)(B1, В2)0.
О
159
Поскольку ехр (тpt) Bi =ехр (ix'MJh) B°i ехр (-пЖ0/Н) в силу
динамического уравнения, этому равенству можно также придать вид
3
G2,1 = j d% Вуе~^жВ^)0 при t2 > G (17.13а)
о
(здесь коррелятор заменен моментом, поскольку (Bi)0 = 0). Полученное
соотношение и есть формула Кубо. Выражение, стоящее в правой части (13а),
есть не что иное, как квазиклассиче-ский момент MJ,;K (см. (25.43)),
умноженный на (3. Поэтому соотношение (13а), аналогичное неквантовому
соотношению G2,i -= = Р (В1В2)0 при t2 > /г, совершенно естественно. Дело
в том, что квазиклассические моменты (25.43) всегда удовлетворяют таким
же соотношениям, каким удовлетворяют обычные моменты в неквантовом
случае.
2. Симметрия квантовых моментов и корреляторов относительно обращения
времени. Рассмотрим сначала, в каком смысле понимается симметрия аппарата
квантовой теории относительно обращения времени. Возьмем известные
коммутационные соотношения, связывающие координаты и импульсы:
Qapft ~ Ма = (17.14)
Эти соотношения играют фундаментальную роль в квантовой теории. При
обращении времени координаты не меняются, а импульсы меняют знак: qa ->
qa, -/?р. Поэтому из (14) в обратном времени полу-
чим соотношения
Яа.Р$ Ч- Р$Ра === 1Йбор.
Эти равенства отличаются от (14). Отличие вида соотношений в прямом и
обратном времени недопустимо. Чтобы исправить положение, операцию
обращения времени t-*-T =-t и замены знака у рр следует сопровождать
операцией комплексного сопряжения. Это значит, что при обращении времени
операторы qa, р$ должны переходить в операторы q?,, -рр соответственно.
Тогда, как легко видеть, соотношения (14) будут инвариантны относительно
обращения времени. В соответствии со сказанным произвольный оператор D
при t -v -t будет преобразовываться так:
D^sBD*, (17.15)
где sD = 1 при D четном по времени и eD - -1 при D нечетном. Матрица
плотности при временном обращении переходит в комплексно-сопряженную: р->
р*. Из (16.28), (16.27) вытекает, что оператор D в гейзенберговском
представлении как функция времени удовлетворяет динамическому уравнению
dD (t)/dt = (i/ft) ф$Ъ (t) - D (t) Ж). (17.16)
160
Производя комплексное сопряжение и полагая 7 = -t, из (16) будем иметь
dD*/dt = (i/П) (Ж*Ъ* - д*Ж*).
Гамильтониан Ж предполагается не зависящим от времени. Отсюда, учитывая'
(15), т. е. равенство D - e^D*, получаем
dD/dt = (ЦП) (ЖЪ - Ъж), (17.17)
если
Ж* = Ж, (17.18)
т. е. если гамильтониан инвариантен относительно обращения времени.
Сопоставляя (16) и (17), видим, что в этом случае динамические уравнения
инвариантны относительно обращения времени. Переход
D (t) D (7) = [&dD (t (7))]* = г"Ь* (-7), (17.19)
короче, переход D (t) (-?) типа (15) будет справедлив со-
гласованным образом при всевозможных временах t.
Отметим, что из соотношения симметрии (18) вытекает аналогичное
соотношение для равновесной (канонической или микроканони-ческой) матрицы
плотности
Ррав=Ррав. (17.20)
Оно говорит о временной обратимости равновесного состояния в случае
обратимого гамильтониана.
Уравнения (14), (16) инвариантны при обращении времени, когда формулы
(15), (18) записываются в произвольном представлении. Однако удобно брать
их в координатном представлении.
Рассмотрим набор операторов (t), ..., Da ((), имеющих временные сигнатуры
е1, ..., es, указывающие их четность или нечетность во времени. Возьмем
равновесный момент
(D, (Ц) ...Ds (Q> о = Тг (D1 (Ц) ...Ds (ts)p о). (17.21)
В обратном времени ему, в силу (19), соответствует выражение
Тг (Д (7,) . . . А (/,) 7о) = е, . . . es Tr (Df (-7,) . . . А* (~Ъ) Ро)
=
- 81 ... 8S (А (-7i) . . . А (-7s))o ¦
Рассматриваемый момент инвариантен относительно обращения времени, если в
прямом и обратном времени он является одной и той же функцией
соответствующих времен, т. е. если
<А((j ... A (ts))0 = F(Ц, . . ., ts),
(Di (tl) . . . A (7i))o = 8i . . . es (Di (-h) , . . A (-ts))q = F (ti, .
. ., 7S).
6 P. Л. Стратонович 161
Отсюда вытекает, что условие инвариантности момента имеет вид
е, . . . е.<Д (-*,) ...Ds (Ч))о = <А (f,) ...Ds (Д> о- (17.22)
Комбинированную операцию умножения на произведение сигнатур ех ... е5,
обращения знака у всех времен ^ и комплексного сопряжения будем называть
операцией временного сопряжения и обозначать
<Д (Д ...Ds (ts)) о = е, . . . е, <Д (-ti) . . . Д (-Д)о- (17.23)
Последняя формула обобщает на квантовый случай формулы (15.22), (15.60),
определяющие операцию временного сопряжения в неквантовом случае. Видим,
что в квантовом варианте добавляется операция комплексного сопряжения.
