Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
выступает тензор
gn = 6ttla26 (о"! + со2), (16.18)
147
f. e. оператор изменения знака у частот или, иначе говоря, оператор
комплексного сопряжения. В самом деле, если поменять знаки частот в
правой части, то преобразование (13) примет такой же вид, как и (11), а
(16) перейдет в равенство
Qi, 2 = (2л)"1 j ехр (-щц/i - 2) Qat, а.2 (U, t2) dtx dt2 (16.19)
типа (14).
Поскольку Gl, 2,..m (и Qh 2...ш) во временном представлении зависят лишь
от разности времен 4 - h = 4?, спектр (14) имеет вид
Gav а2 ... ат ((r)1> ¦ • • , Ют) =
===: Gay а2 ... ат ((r)1 > • • •, (r)т-|) 6 (ОД - ' ' ' ~ Г (r)т)> (16.20)
где
Gav а2 ... ат ((r)Ь • • ¦ , (r)m-l) =
= (2л)1~т/2 j ехр (-ixDitim - ¦ • • - ттЛ1:п-\, ,") X
X Gc_ty а2 ... am (^1, tln) dtуп . . . dt,n_i} m.
Поскольку Gu 2...m можно представить в виде Gctj, а2 ... ixт (t\, ¦
¦ ¦ , tm) =
= Р2 ... mGay а2 ... ат (t\, . . ., /,rl)l](/i, . . . , tm),
где Р2...т обозначает суммирование по всем перестановкам индексов
2, ..., т, число которых равно (т - 1)!, а ц (4, ..., tm) -
= 9 (40 л (4з) •••Л (tm-l.m), Л (0 =¦- ^ (t) = 1 ПРИ t > 0, 11 (/) =
- г1) (t) 0 при t < 0, формулу (20) можно записать так:
Gar а2 ... ат ((r)1> •••, Ют) =
= Р2 ... mgav а2 ... ат((01, . . . , COm_l) 6 ((r)i-j + (r)m), (16.21)
причем
gav "2 ... (r)m-l) ==
= (2л)1'т/2 j ехр (-?СД4т ------------/Ют-Ет-1, т) X
У. Gav a2 ... am(t\, ¦ ¦ ¦, 40 Л (4, . . ., tn)dtyn . . .
dtm-l, m- (16.22)
Аналогично этому из (19) имеем, в частности,
Ql, 2 = q'a1, а2 ((r)l)S((r)l - г Юг), (16.23)
где
Яа" a2 (Ю1) = j exp (-?04/12) Qat, a2 (4, 4) ^12-
Если учесть вторую формулу (17), из (23) получим такой вид контра-
вариантного тензора в спектральном представлении:
Q1' 2 =?7а" а2 (--COl)6((r)i +С02). (16.24)
Функции (22), входящие в (21), как и аналогичные функции для
видоизмененных адмитансов и импедансов, удовлетворяют со-
148
орошениям Крамерса-кронига по каждой из переменных со* =-. = 2j w;> i - m
- 1- Эти соотношения выводятся тем же /=1
способом, что и в линейной теории. Указанная зависимость со,' от со j
получается благодаря представлению интеграла, входящего в правую часть
(22), в виде
j ехр (--m[ti2 - m2t23 - ¦ ¦ ¦ - т) т) (М Л (?>з) • • •
• ¦ 'ri)Ga1, а2 ... ат (t1, • • • tm) dt 12^23 • • • dtm-1, т.
Соотношения типа Крамерса-Кронига в этой книге не используются, поэтому
выписывать их, а тем более доказывать, мы не будем.
3. Переход к квантовому случаю. До сих пор мы рассматривали
неквантовый случай. Теперь в целях общности будем вести рассмотрение на
квантовом уровне, пользуясь понятиями и формулами квантовой теории. Из
квантовых результатов, как известно, можно получить неквантовые, если
постоянную Планка Н устремить к нулю.
В квантовой теории вместо динамических переменных z -. (q, р) и функций
от них выступают некоммутирующие объекты - операторы. Поэтому внутренние
параметры Ва Ва (г)' теперь следует
считать операторами Ва (операторы первое время будем отмечать крышечкой).
Их средние значения
Аа = (Ва) = Тг (Вар) (16.25)
носят обычный числовой характер (являются с-числами). Вместо формулы (1)
в квантовом случае будем иметь равенство
&(t) = &0- ? Baha(t). (16.26)
а-1
Внешние силы ha (t) предполагаются с-числами.
Формулы (2)-(6) при переходе к квантовому случаю не подвергаются никакому
изменению.
Гамильтониан (26) определяет временную эволюцию операторов в
представлении Гейзенберга. В представлении Шредингера операторы Ва и
прочие операторы динамического типа не изменяются, а изменяется со
временем лишь входящая в (25) матрица плотности р. Она удовлетворяет
квантовому уравнению Лнувнлля
МО. _ _ Д_ ф it) p(t)-p (t) Ж (t)\ = - -L [Ж (t), p (0].
Решение этого уравнения при фиксированной матрице р (^0) имеет вид
р (t) = Utt0p (to) Ot0t, t>u: гДе Utt0 - семейство матриц,
удовлетворяющих -уравнению
=------1п*№и. . *>*>¦ (16-27)
149
при условии Ut0ta - I (/-тождественный оператор); --
= Utt" (значок "I" обозначает эрмитово сопряжение).
Зависящие от времени операторы
D{f) = GtliDUtu, t>t0, (16.28)
соответствуют представлению Гейзенберга, при котором матрица плотности р
не зависит от времени. При этом имеем
(D(t)) - Тг (D(t) p(t(,)) = Tr (Bp (0),
т. e. в обоих представлениях среднее значение одно и то же. Теперь введем
операторы
V"o = exp [-i-^o(f-fo)] UUa, t>t0. (16.29)
Дифференцируя (29) и используя (27), будем иметь d ДД" = ехр f4%b-
±rZ${f)\ut
-Jf V U" = exp (~~Н о КЧ jutto-
Подставляя сюда (26) и вводя обозначение
Ва (0 = ехр [-^-5^0 (/-/")] Во ехр [_-^-^0(/_д], (16.30)
получим
(16.31)
Разрешая равенство (29) относительно Utta и подставляя получаемое
равенство в (28), будем иметь
D(t) = VtoiD°(t)Vtta, (16.32)
где Ь° (t) определяется аналогично (30). Существенно, что операторы D°
(t), Ва (t) не зависят от внешних сил h (t)\ от них зависят лишь
операторы (32).
Решение уравнения (31) при начальном условии Vtata = / можно записать в
форме упорядоченной экспоненты:
t
V ц0 = ехр
П
t^t0, (16.33)
причем Vt0t - Vit0- Стрелка над ехр указывает принцип, по которому
