Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
S
74 = 1а,, о^ал^а,, ртКтф ? (<ГЛ ^<Тф 0 Vp\\J-i!p, р-Гр -j- Пер. (1, 2).
s
Здесь "пер. (1,2)" означает добавление таких же членов, но с
переставленными индексами 1 и 2. Точки в (63) обозначают несущественные
для нас члены, скажем, не зависящие от хр. Часть спариваний обратилась в
нуль, например, спаривание члена, содержащего Оас членом, содержащим о^р,
поскольку laXt р = 0. Произведения типа оо устраняем при помощи (53) и
формулы ? crjs)cr/s) = = 1ц =-kT (lUj -1- l}ti). Выражение для Т1
принимает вид
$Т 1 = /ц,, аУрл^а2, рУрфСлСфВр/р, яфХр.
Вследствие формул УаЛел = е0Уяа, 1а, аеа = 1а> аеа (см. (17), (18))
отсюда можно получить
Р74 = ?",?"., Ср [ Ула (t\p) 1<у, а,Кфр (^2з) 1р. а,1р. лфХр (/3) dt$ =
= ?а,Еа2Ср J -Гр (*3) 1р, яф У ли ( I31) 1^ФР ( I23I1а, а,1р, а2 dtp
= ХзФз, 12.
Здесь принят во внимание вид функции (49) и определение (60) временного
сопряжения. Далее, нетрудно видеть, что входящее в Т2 выражение
la, ,рт Утф (Ар, а2 4" 1а2, ф) Урл 1л, р-Гр
содержит в себе функцию Фа,,а2рхр. Поэтому (63) можно записать так:
Fa^x := (Фа,, а2р 4~ Фа2, а,р Фр, а,а2) -Гр -р R> (15.64) где R
обозначает сумму остальных членов:
R = 1а,. oKoqla2,<pxVxplp, рХр -j- пер (1, 2);
И (1(r)) II = ^ (- !") 4- р (Iffl) + УМ I U Ф 4- Ар, а II РТ (- !")•
(15.65)
Здесь "т" обозначает транспонирование матрицы, т. е. замену о ср, а К (ш)
и У (гсо) определяются равенствами
K{i(o) = J ехр (- йо/12) К (/ха) dtiz, V (/со) = J ехр (- ко/12) У (/12)
diy2.
140
В правой части (65) поочерёдно выписаны члены, происходящие из Тг, Та,
ТА. Данное выражение можно записать в виде
Я (/и) = V (/со) {[Р (/со)]-1 + [VT (- iw)]-1 -f L2 + LI) VT (-. /и).
Нетрудно убедиться, что выражение в фигурных скобках обращается в нуль в
случае матрицы V (гсо) ---- (гсо - /-г)-1, соответствующей формуле (50)
при U2 = 1. Итак, остаточные члены исчезают, так что из (64) и первого
равенства (58) получаем (59). Кроме (59), трехиндексные функции Ф...
удовлетворяют еще соотношению
р2Ф123 - Фц2з- Фцгз "Г Фг,34 - Фг,з4 Фз,12-Фз.12- (15.66)
Демонстрация его справедливости в случае уравнения (56) более трудоемка и
мы ее не будем приводить.
6. Общее определение функций Ф ... Пусть уравнению (2), записанному
для средних Аа - (Ва), соответствует стохастическое уравнение
Bu(t) = - Fa[t, S, *(Я)], т. е. Вг - - Fx [S, * (В)], (15.67)
где S (t) - набор каких-то случайных функций. Уравнение (67)
устанавливает корреляции между В (t) и S (/). Рассмотрим теперь выражение
/д 13, х] до подстановки его в (67). При этом корреляции между В (t) и 3
(/) еще не установились и траекторию х (t) можно считать независимым
аргументом функционала. Ее можно зафиксировать без искажения
статистических свойств шумов 3 (/). После фиксации х (•) можно найти
корреляторы
(Fi[S, Fm[3, *])* = 4V../n[*], m=l,2, ... (15.68)
Функции Ф1 ... m, (m+i)... (m+n) определяются как коэффициенты разложения
этих корреляторов в функциональный ряд Тейлора:
оо
ЧЛ ...т [х (/)] = ^ -уг Ф|--.т, (ш+1)...(т+я)*т+1 Ул-f-п • (15.69)
л=0
Рассмотренные ранее функции Фь 2, Ф12, Ф1,2з. Ф12, з. Ф123 подходят под
данное определение.
Для заданного случайного процесса \Ва (01 возможно много различных
стохастических представлений (67) и различных выражений Ft [3, х]. Однако
при разных представлениях мы должны иметь те же самые функции Ф...
Простейшее стохастическое представление можно записать в виде
5, = - Yi [х] - J J S|S> [х] ?(s) (0 dt, (15.70)
S
причем по аналогии с (П7.5) будем иметь
Y,...m[x] = S Jsf?'[x] ... Sj?)[x]dt, 2. (15.71)
S
141
Случайные функции |<s> (/) предполагаются независимыми, имеющими нулевое
среднее значение и корреляторы
(e(Si)№), .... E(Sm) (*")) = 8v..<fri 8 ft.tm),
ГДе 6Sl...Sm == fisjSj 6 ft> ¦ • • Дт) = 8 (^12) 6 (t\m)-
Универсальные соотношения, связывающие функции Ф..., будем называть ФДС
первого рода. Приведенные ранее формулы (24), (44), (59), (66) служат
примерами таких соотношений. Эти соотношения служат обобщением на
немарковский случай соотношений
(10.11), (10.10), (10.13), (10.14) марковской теории, причем очевидна
аналогия этих соотношений. Если формулы (67)-(69) применять к марковскому
процессу, то правая часть (70) должна безынерционно зависеть от х (t-О,
т. е. функционалы S)s) \х] должны быть такими:
S{?> [х] = S%tlt [х] = -Ga? (х ft)) 6 (U-t). (15.72)
При этом стохастическое выражение (70) можно понимать, скажем, в смысле
(П7.3). Из (72) и (71) будем иметь
... amtm М = ( 1) Иа1 ... ат(х (tO) 8 (tl, ¦¦¦, tm),
Фах ... ат, Pj ... Pnft> ¦¦ ¦ •> tm+n) - (15.73)
= ( 1) la1 ... am, px ... P"8ft, ..., tm+n).
При этом соотношения (24) и др. перейдут в (10.11) и др.
Поэтому
можно сказать, что полученные в п. 10.2 соотношения есть ФДС первого рода
для случая марковских процессов.
Из принципа соответствия соотношений немарковской и марковской теории
можно заключить, что должны иметь место аналогичные соотношениям (10.22)-
(10.25) четырехиндексные формулы
34 = Фц 234 4~ (r)2, 134 4" ^12, 34, Cl2, 34 = Сз4, 12>
