Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1^12, 3 = ^ [02 Ki _ 23 + 01^К2, 13 -j-(pi(c)2 + Р201^) Рз *Кз, 2i].
(17.66)
Из (65) и (66) нетрудно найти симметризованные функции
(К-Л, У2]+, 7з]+)о = (kT)2 [Я12020з (к,, 23 - к?, 23) +
+ 7* ((c)W + 0Г02-) (Кз. ,2 - Уз, 12)], (17.67)
72 (6 ([*Л> /г]+)/6/гз)о = kT i, гз + (pi(c)2 + P20i) Рз ^з, 21 ] >
где 0/ ..= (6f + 07)/2.
Операторы 0±, 0 (см. (63)) выбраны так, что они в неквантовом пределе й -
>• 0 переходят в единицу. При этом (65) переходит в (49), а (66) в
простую формулу
РК,2,з = 7,,23 f К2,13-П12- (17.68)
Последняя формула проще, чем (61), однако (59) несколько проще, чем (66).
Поэтому нельзя сказать, при каких адмитансах G ... или К... ФДС принимают
более простой вид.
8. Немарковские ФДС второго рода в случае, когда среди рассматриваемых
параметров Ва имеется энергия. Если многовременные корреляторы энергии Ж0
(z) представляют интерес наряду с корреляторами прочих параметров Ва (z),
а =1, ..., г, следует несколько видоизменить исходную формулу (16.1).
Именно, вводя внешнюю силу h0 (t), сопряженную с Ж0(г), следует полагать
Г
Ж (z, h (t)) = Ж0 (2) - Жй (г) Ао (0 ? Ва (Z) К (0 =
а-1
= Ж0 (z) ? Ba(z)ha(t) (17.69)
а=0
(Во = Ж0). Тогда ФДС, выведенные в настоящем параграфе, можно применять
также для вычисления многовременных корреляторов энергии. Для этого нужно
лишь в них полагать ах =0, 1, ..., г и т. п.
В том случае, когда невозмущенный гамильтониан, соответствующий значениям
йх =0, ..., hT =0, представляется в форме
Ж(г) = Жо(г)- ? Ba(z)al
С6=1
170
(см. 2.20), вместо (17.69) можно брать равенство
Я (z, h (/)) = Я0 (г) - Ж0 (г) Ы (/) - XJ Ва (z) (а°а + ha (/)).
(17.70)
а=1
Проиллюстрируем сказанное на простом примере.
Пример. Пусть имеется некоторая система, описываемая невозмущенным
гамильтонианом Ж0, находящаяся в тепловом контакте с термостатом.
Предположим, что этот контакт при отсутствии внешних сил описывается
релаксационным уравнением
U0=-y(U0-Uo), (17.71)
Где UQ = (Ж0). Требуется найти равновесный двухвременной коррелятор (Ж0
fo), Ж0 (Щ.
Для решения данной задачи запишем возмущенный гамильтониан (69), т. е.
гамильтониан
Ж (г, К (/)) = Жй (z) [1 - К (0], (17.72)
введя внешнюю "силу" h0 (t). Если бы нам удалось найти адмитанс G0,o (^i.
t2), определяемый формулой
(Ж (/,)) = Uq - \- j Go, о (U, t2) ho (to) dt2
обычного вида (см (16 2)), то для отыскания коррелятора (Ж0 (t1),Ж0( t2)}
осталось бы лишь воспользоваться линейным ФДС. Поэтому займемся
вычислением указанного адмитанса.
Предположим сначала, что теплообмен отсутствует, и найдем временную
производную diMlcLt. Используя уравнения Гамильтона, нетрудно получить
dM(z, h (t))/dt = дЖ (z, h(t))/dt = -Ж() (г) h() (t) (учтено (72)).
Усредняя полученное уравнение, находим
d (Ж)ци = - U°0h0 (t). (17.73)
Учитывая теперь наличие теплового контакта, уравнение (73) следует
скомбинировать с релаксационным уравнением (71), что дает
(Jo = -у (Uo - US) - ifohо (t). (17.74)
Из этого уравнения уже нетрудно получить искомый адмитанс. Переходя в
(74) к спектральному представлению, находим
G0> о (соь w2) = -/coi (ко, -|- у)-1 Uq8 (a"i - г w2).
Остается применить линейное ФДС (11) и получить (Жо (wi), Жо (ыг)) =
2kTyUo (tof -)- у2) 1 6 (м, -)- Юг),
SVt ((D) = 2?7yGS(co? + yV-Найденной спектральной плотности во временном
представлении соответствует коррелятор (<9^o(h)> ^o(t2)) = kTU^exp(-у |
^i21). Рассмотренный пример является чисто иллюстративным, так как данный
результат легко получить при помощи линейного марковского ФДС методом,
изложенным в § 12. Однако метод данного пункта имеет то преимущество, что
позволяет получить полностью
171
обоснованное квантовое обобщение. Кроме того, он полезен в более сложных
задачах, например, нелинейных, и в задачах с запаздыванием.
9. ФДС второго рода в модифицированном варианте. Немарковские ФДС можно
привести к форме, аналогичной модифицированному варианту марковской
теории, рассмотренному в пп. 5.5, 6.5, 10.3. В этом варианте вместо
переменных термодинамических сил Ы (t) следует рассматривать силы hi (t)
=-¦ hi (t)/T, вводя их формулами
Т-'Ж (г, h (0) = Т^Жо (г) -?) Bt (z)ht (t)
1=0
или
r
Т~ХЖ (z, h (0) = - ? Вс (z) [а? + hi (0]
?=0
вместо (69), (70). При этом силы й, в случае их неизменности во времени
будут совпадать с термодинамическими силами X, которые фигурируют в
модифицированном варианте марковской неравновесной термодинамики.
Адмитансы в данном варианте, естественно, следует вводить не формулой
(16.4), а формулой
Ai = А? --)- G\, 2й2 + V2G1,23Й2Й3 -f- VeGi, 234Й2Й3Й4
Легко видеть, что при этом справедливы равенства
G\,z,..m = Tm lGi,2...m У\ ... I, (/+1) ... m = Т"1 1У \ ... /, (/-|-1)
... ш-
В данном варианте ФДС второго рода подвергнутся некоторому изменению.
Например, вместо (62) и (65) будем иметь
У12 = У12 - Й02 {У 1, 2 + У2, l) ,
У123 = Уш = k2 [02-03- (Уи 23 - У?,23) +
+ 0^03- (У2> ,3 - VI ,з) + 0W (Уз. 12 - Узв, 12)].
Видим, что отличие новых формул от старых в том, что в них вместо kT
