Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
6. Следствие из найденной формулы. 1) Вычитая (D° (t) Q)0 из
обеих частей равенства (51), будем иметь
№ Do (*)])" = [ехр (-Щрп) - 1] (О" (t) Q)о. (16.52)
153
Если это равенство разрешать относительно (D° (t) Q)0, то получим
(D°(t)Q)0 = -T+(pD)([Q, D°(t)))0, (16.53)
где обозначено
Г+ (р) = ехр (гйрр)/[ехр (гйРр) - 1 ]. (16.54)
Нужно отметить, что момент (D° (t) Q),, определен формулой (53) не вполне
однозначно. В правую часть (53) можно добавить некоторую постоянную, т.
е. величину, не зависящую от t:
(&W)o = T+(pD)([b°(t), Q])0 + const. (16.55)
В самом деле, подействовав на обе части равенства (55) оператором ехр (-
Ш$рп) - 1, мы получим (52), поскольку
[ехр (-iHfjpD) - 1 ] const = 0.
Произведение равновесных средних (D° (i))0 (Q) не зависит от t. Поэтому
вместо (53) можно с равным успехом взять формулу для коррелятора
<Д(Д Q)0 = Г+ (pD) <[D° (t), Q])0. (16.56)
Если использовать равенство (53) и положить в нем Q = В0, будем иметь
такие равенства:
(&В°)0 = То([&, В°]\, <B°D°>0 = Го <[5°, ё°])0, (16.57)
где
Tt = T+(pD), ТБ = г?- 1 = [ехр ("йР/?о) - 1Г1. (16.58)
2) Возьмем теперь среднее (ПДД)0. Здесь и дальше в этом параграфе
нулики при операторах для краткости опускаем. Применяя
первую формулу (57) при замене В на ДД, будем иметь
<ПДД)0==ГЬ([Д ДД])0. (16.59)
Коммутационные скобки обладают, как легко проверить, дистрибутивным
свойством:
[Д ДД] = [Д Д] Д + Д [D, Д].
Пользуясь им, из (59) получаем
(ЯД Д)о = гь [<[Д Вг] В2)0 + (Вг [D, Д])0}. • (16.60)
Рассматривая среднее (ДПД), имеем тождество
(Д7)Д)о = (ОВгВ,)о - <[Д Д] Д)0.
Если сюда подставить (60) и учесть (58), то найдем
<ДПД)о = Г Б <[Д Д] Д)0 + (Вг [Д Д])0. (16.61)
154
Наконец, возьмем среднее (B1B2D)0. Применяя вторую формулу (57) при В -v
ВХВ2 и учитывая дистрибутивное свойство, будем иметь
(BiB2D)0 = То {<[Д В\] В2)о + (A [D, В2])о\. (16.62)
Теперь введем в найденные равенства (60), (61), (62) повторные
Коммутаторы. Член ([D, A]B2)o в (60) преобразуем при помощи первой
формулы (57), заменив в ней D и В на ID, Вх] и В2 соответственно. Член
(Вх [D, В2\)0 преобразуем по второй формуле (57), поменяв в ней D на [D,
В2] и В на Вх. В результате (60) преобразуется к виду
фвЗ2)a=vt (Г& <[[Д В\], В2))0 4- r^2 ([[А В2], в,])0}( (16.63)
где Гщ = Г+ (ро pi), Гд2 = Т~(ро + р2). Аналогичным образом при помощи
(57) можно преобразовать равенство (61), что дает
(ВФВ2)0 = ГБТ/л ([[Д В\\, В2\)о + ([[В, В2], Д)0. (16.64)
Равенство (62) приводит к формуле
(.8,В25)0 = Г4 {г?, ([[Д Я,], Я2])о+ ГБЬ <[[b, B2J, А])0Ь (16.65)
3) Перейдем к рассмотрению среднего от произведения ВХВ2В3ВХ. Полагая D =
Вх, В = В2В3ВХ и пользуясь перЕой формулой (57), будем иметь
(ВМзВ^о^П ((Ви В2В3А])о (ГГ = Г+(рО) или, если использовать
дистрибутивное свойство,
<BiAAA)o ==
== Г?" {([Ai, B2]B3Bi)a + (B2[Bl, Д]В4)0 -J- (B2Bz[А, А])о)
Преобразуем первый член в фигурных скобках при помощи формулы (63),
поменяв в ней D на \ВЪ Д], Вх на В3 и В2 на Я4. Второй член преобразуем
по формуле (64), положив D = [Вх, В3], а третий член по формуле (65) при
D = [Въ В4]. Получим формулу
(В,В2В^ВХ)0 - Г^~ (Г12ГШР1234 -ф- Г12Р124Р1243 Н~ Г13Г132Р1324
-f- Г13Г134Р1342 -ф ГиГыгЕигз А ГнГнзУнзг)- (16.66)
Здесь обозначено
1^1234 = (ША> А1> А], А1)о в соответствии с (43).
Если в (63) поменять D, Въ В2 на Вх, В2, В3 соответственно, то будем
иметь
<ААД)0 = it (ГЙУщ + ГГ3У.32) <Ут = <[[А, А], А))0)- (16.67)
4) Вспомним теперь, что действие операторов Г± сопровождается некоторой
неопределенностью, приведшей к появлению константы
155
в (55). Возьмем первый член Г+Г+гРш в (67). Благодаря присутствию
операторов ГГ и ГГ2, к нему можно добавить произвольную функцию / (к, t2,
t3), удовлетворяющую условию (ГГ2)-1 (ГГ )-1 / = 0, иначе говоря, одному
из уравнений (ГГ)-1/ =0, (ГГ2)-1 / = 0, которые в силу (54) эквивалентны
уравнениям pj = 0, (р1 4- р2) / = 0. В самом деле, подействовав
оператором (1ТГГ2)-1 на выражение ГГГГгПыз + / (4, t2, /з), получим Vm,
как это и должно быть.
Общий вид функции, удовлетворяющей указанным уравнениям, таков:
/ (к, t2, /3) = ф (ti - t3) 4- ф' (ti - t2) 4- const
(использовано условие стационарности), где ср, ср' - произвольные
функции. Второй член в (67) приводит еще к добавлению произвольной
функции ср" (/4 - t3). В итоге имеем такую функцию, которую можно
добавить в (67):
/ (4. t,, ti) ='ф (/.23) + ф' (/12) -г ф" (4з) + const. (16.68)
Отличие момента (В1В2В3)0 от коррелятора (въ Вг, В3)0, согласно
(1.9) равное
(Въ В2)о (Дз)о 4" (Дь В3) (В2)о -г (Д>> Вг,)о (fli)o -f- (5i)o (В2)о
(В3)0,
относится к допустимому классу произвольных функций. Поэтому вместо (67)
можно писать аналогичную формулу для коррелятора
(В\, В2, В3)о = Tif {rf2Vm + Г^ПШ), (16.69)
где добавление произвольных функций типа (68) подразумевается.
Вернемся к равенству (66) и рассмотрим его первый член ГГГГ2ГГ23Р1234.
Этот член содержит произвольную функцию 7 = 5] Ф(п)>
П
которая обязана удовлетворять условию
Pi (Pi + Pi) (Pi + Pi + Pi) f (ti, ti, ti, /4) = 0, т. e. хотя бы одному
