Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
выступает k. Напомним, что в этом же состояло отличие ФДС марковского
модифицированного варианта от основного.
§ 18. Кубические ФДС второго рода
1. Некоторые формулы, касающиеся четырехиндексного среднего
коррелятора и коммутатора. Кубические ФДС устанавливают связь между
следующими четырехиндексными функциями: адми-тансом G1> 234> биадмитансом
ТриадмитаНсом
Gl23, 4 = [б (Bl, Bi, Вз)/ЬЫ]нтй (18.2)
й равновесным коррелятором
6iM4"<5i, А", В" Bt)о. (18.3)
Воспользуемся полученной ранее формулой (16.71). Используя Обозначение
(3) и равенство (16.72), ее можно записать так:
Cl234 - It [Гз4 (Г4 V1234 "1" Гз+V 1243) "1" Г21Г4 V1324 4" Г42Г2 V1342 -
р
+ ГЙ (ГГ^1423 + Г^Умзг)]. (18.4)
Рассмотрим коммутаторную функцию VJ234 == ([ [ [Blt В2], AL ^Do-Она
удовлетворяет равенствам
Е 12з4 4- V2134 = о, у1234 + У"14 н- Vnti = о, (18.5)
аналогичным (17.35). Первое из этих равенств справедливо по той причине,
что У1231 содержит однократный коммутатор [Въ В2], а второе - потому, что
эта функция содержит двукратный коммутатор [[fix, В2], В3]. Раскрывая
коммутаторные скобки, получим
V1234 ^ Cj234 G2j34 G3124 "4 G3214 G4123 4"
"4 ^4213 "4 G4312 G4321. (18.6)
Пользуясь этим равенством, нетрудно проверить, что имеет место еще одно
соотношение симметрии:
1^1234 "4 1^2143 4" Уз412 4" V4321 = 0-
(18.7)
Наконец, еще одно соотношение вытекает из условия временной обратимости.
В самом деле, при выполнении условия (17.18) коррелятор (3) в силу
(17.24) инвариантен относительно временного сопря-
жения: Gf234 = G1234. Учитывая (6), отсюда получаем
V?234 = Vl234- (18.8)
Используем соотношения (5) и (8) при записи коммутатора У1234 в форме
разложения по парциальным функциям. Возьмем такой вариант разложения:
V1234 = Vl234 4" 14x234" (18.9)
где
V1234 = 01234 - O2134 - 02314 4- О1324 4" й1243 - 02143 -
- (о - 0В)г341 4" (о - 0B)i342 - O3142 4" О3241 + в- с. (18.10)
и
(2)
V1234 - ^2314 - 7?! 324 1- ^3124 4" -^3214 4" Cl 243 - ^2143 "4 4- ^2341
- d1342 - (с 4- d)
3142 4-(с 4- Фз241 4" В- С- (18.11)
173
Добавление сопряженных по времени членов, обозначаемых в. с.(
обеспечивает справедливость равенства (8), Здесь ahimn, ЬМтп, Ckmn, dkimn
- парциальные функции, отличные от нуля только в области th > ti > tm >
tn. Легко проверить, что УШ4 и Villi порознь удовлетворяют равенствам (5)
и (8). Мы видим, что У1234 опре-Деляется четырьмя независимыми
парциальными функциями. Некоторые соотношения между ними даются
равенством (7), которое еще не использовано. Подстановка (9), (10), (11)
в (7) приводит к таким равенствам для парциальных функций:
С4234 ^4234 - 0, ^4234 "Ь ^1234 "Ь ^4234 "Ь ^4234 - (18.12)
где обозначено с1234 = cf321 и т. п. (функция с1234 отлична от нуля в той
же области, где и с1234).
Функция (11) в отличие от (10) обращается в нуль в области > t2 > t3 >
14. Поэтому, если подставить (9) в равенство (16.42), взятое при т = 4,
то получим
^4234'П4234 = а4234> (18.13)
Следовательно, функцию (10) можно найти, зная адмитанс Gh 234. Назовем
эту функцию диссипационно-определяемой. Равенств (12) недостаточно для
того, чтобы определить функции Ь, с, d, а следовательно, и У)234 при
известной парциальной функции (13). Поэтому будем называть функцию (11)
диссипационно-неопределяемой. Чтобы полностью определить Ь, с, d, а с
ними и У(234, нужно задать еще, скажем, парциальную функцию b и две
"половинки" с-с и d-й. Итак, в кубической теории (а также при более
высоких нелинейностях) не удается полностью выразить коррелятор (3), а
следовательно, и другие функции (1), (2) через адмитанс G1) 234.
Возможность выразить все функции с фиксированным числом индексов через
адмитанс является "привилегией" линейной и квадратичной теории. Напомним,
что такое положение было и в марковской теории (см. § 10). Несмотря на
отмеченное обстоятельство, в кубической теории имеются соотношения,
затрагивающие адмитанс и функции (1)-(3), которые будут выведены.
Вследствие'(16.44) и (13) имеем (й/i)3 Gli234 = /\34н1234. Учитывая это
равенство, формулу (10), так нетрудно проверить, можно записать в виде
Это равенство напоминает формулу (17.42) квадратичной теории.
2. Соотношение, определяющее диссипационно-определяемую часть
коррелятора. Подставляя (9) в (4), будем иметь
^4234 ---- (ft/if G4, 234r)4234-
(18.14)
V1234 = (ft/if [Gi, 234 - G2, 134 - В. С.].
(18.15)
(18.16)
где
G1234 = If [I34 (rrvf& + Гз+У$з) + lfrrv$4 + r2ir2+Vi(^2 4-
+ Г2+з (ГУУЙз + rfy,f2)], /=1,2. (18.17)
174
Подставим сюда при / = 1 равенство (15) и приведем подобные члены.
Используя симметрию адмитансов типа (16.5), имеем
Gl234 = - {Hlif [Г34 (Г4 -f- Гз") (G2, 134 - Gi, 234) 4"
4" (Г24Г4 -f Г24Г2') (G3, 124 - Gi, 234) -j- Г23 (Гз -f- Гг-) X
X (G4, 123 - Gi, 234) - в- С.]. Если теперь принять во внимание тождества
(16.75), то получим G1234 = -ifV'Ti [Гз Г4 (G2, 134 - Gi, 234) "г Г^Г4
(G3, 124 - Gi, 234) 4~
+ Г2ЬГ3|'(04, 123 - Gi, 234) - в. с.]. (18.17а)
Наконец, используя (16.74), находим
