Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Нелинейная неравновесная термодинамика " -> 56

Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика — М.: Наука, 1985. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaneravndinamika1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 178 >> Следующая

упорядочиваются операторы В0 (t')\ чем больше время t', тем левее стоит
соответствующий ему оператор В° (t'). Упорядоченную экспоненту можно
также записать в виде предела
Vtu = lim [ I + Z (*"_,) A] [7 + Z (^_2) A]...
n-> oo
...[l + L(tJA]V + L(to)A], (16.34)
где A = (t - t0)/n, tj = to + /А, Z (tj) = (UK) B° (tj) h (tj).
150
4. Формулы для вариационных производных по внешним силам.
Продифференцируем выражение (33) по h (/-,). Будем иметь
*о <*!<*• (16.35)
В том, что это так, легко убедиться, использовав (34). Принимая во
внимание (35), найдем вариационную производную от гейзенберговского
оператора (32):
= -L [vut&{t)VuMVuu - vtotMvtimtiA.
Подставляя сюда тождества Vttl = Vu"Vt<>il, Vtlt - VtltoVtot и используя
формулу типа (32), получаем
¦ЦУ- = \Ф(t)Bi - (0) = (tl К(щ при t>u.
(16.36)
Здесь в правой части стоят полные гейзенберговские операторы. Значение t0
следует положить равным -оо. Поскольку производная
6D (t)/dh1 равна нулю при i1 > t, можно записать такое повсеместное
равенство:
= BMit-h), (16.37)
где г| (т) - функция единичного скачка, совпадающая с (15.38).
Пусть теперь нам нужно найти производную &n~lB1/8h2 ••• 8hm. Предположим,
что моменты времени tv, t2, • ••, tm упорядочены так: Б > t2 > U > > tm.
Дифференцируя сначала по hm, соответ-
ствующему более раннему времени tm и применяя формулу (36) при
D ->- Въ Вх Вт, будем иметь
ЖГ = -г№'Й"1' (16.38)
Теперь продифференцируем (38) по hm_х. В силу закона причинности Вп не
зависит от hm_x при im_i > tm, поэтому дифференцирование можно проводить
так:
б_ i Г 8S, ]
6V-16 hm "Lew1 mJ'
Еще раз применяя (36), будем иметь
~bhmS&hm = (т) Вт^ (16.39)
Затем продифференцируем (39) по /гт_2 и т. д. В последнюю очередь
будем дифференцировать равенство для 8m'2jB1/8h3 ... S/zm по /г2, т. е.
по силам, соответствующим самому позднему из времен t2, tm. При этом
производную 6/6/г2 можно перевести внутрь всех
151
г / \
Ul'2 -т - \6ft2 . . . 6Am А
коммутационных скобок и применить формулу (36) при h1 -> /i2. В итоге
будем иметь
АЗ",,; = (тгГ'1"• ё>'....."л <'6.40)
при ^ > L >. .
Отметим, что дифференцирование в (40) можно было бы производить и в
другом порядке. Используя функцию
Л12 ... т == Л (Д ¦ ¦ • > Д) == Л (Д) '1 (Д) ••• Л (Д-1, т) ==
( 1 при ... > Д,
) 0 в других местах,
обозначим
gr12...m = G1,2...mT)12...m. (16.41)
Подставляя сюда формулу (3), т. е. формулу -1 "
' h = О
и учитывая (40), находим
gi, 2... rn = (i/h)m-1 ([. . . [[Вь В2], В3], ..., Вт])0
%2... т. (16.42)
Итак, мы нашли (т. е. выразили через коммутаторы) функцию
(41). Чтобы найти полную адмитансную функцию G1;2,..m, следует учесть ее
свойства симметрии (типа (5)) и причинности (6). Обозначим
V12... m = ([ • • ¦ [[Вь В2], В3], . . ., Вт])я=о- (16.43)
Тогда общая формула будет иметь вид
Gi, 2...т= Р-2 ... т (Ph)m_1 ^12 ... тЛ12 ... пг- (16.44)
Здесь Р2...т имеет тот же смысл, что и в (21). В (44) следует подставить
равенство (43). Формула (44) была получена Бернардом и Калленом [1 ].
5. Формула для перестановки операторов под знаком усреднения при
отсутствии внешних сил. В (42), (43) входит среднее значение при нулевых
внешних силах. Мы считаем, что рассматриваемая система существует
бесконечно долго, т. е. что все ее "начальные неравновесности" затухли.
Поэтому неравновесные сеойствэ процесса В (/) вызваны исключительно
внешними силами h (t). При
нулевых внешних силах процесс В (t) будет равновесным. Следовательно,
среднее (42), (43) есть равновесное среднее. Далее отметим, что при h (t)
= 0 гейзенберговские операторы (32) совпадают с операторами типа (30),
которые отмечены нуликами. Поэтому в правой
части (42) можно писать В" (/) вместо В" (t).
Равновесное среднее
(М (t))h=о - (АН (i))0 = Тг (Л4° (0 р0)
152
берется с равновесной матрицей плотности р0. В энергетическом варианте в
качестве равновесной матрицы плотности следует взять квантовое
распределение Гиббса
Ро = ехр [(D - Ж0)1кТ). (16.45)
Рассмотрим равновесное среднее произведения двух операторов (QD°)0 = Тг
(QDa (t) ()'о). (16.46)
Один из усредненных операторов заведомо зависит от времени по формуле
D" (0 = ехр [ -L- 30о (t- t0)] D (t0) exp [- -L- Ж о (t - *")]
(16.47)
типа (30). Поскольку след обладает свойством Тг (QM) = Tr (MQ), равенство
(46) можно записать в виде (QD" (t))о = Tr (QD° (t) pn) = Тг (D0 (t) PoQ)
(Л4 = D°p0). Подставляя сюда (45), легко убедиться, что последнему
равенству можно придать вид
(QD° (t))о = Тг (p0polD° (t) p0Q) = (D° (t) Q)о, (16.48)
где
D°(^) = p-'D0po = eP^0ZV~P^0 (16.49)
(P_1 = kT). Учитывая (47), нетрудно понять, что выражение (49) ' можно
записать в форме
Ь° (t) = D° (t - 1ЙР).
Разлагая D° (t - ififi) в ряд Тейлора по -1Щ, отсюда получаем
^ ОО ^
(*) = S ТГ i-imn = ехр (-mpD)D° (t). (16.50)
л=0
Здесь pD - оператор дифференцирования d/dt, относящийся к D° (i).
Подставляя (50) в (48), получаем такую формулу:
(QD0 (0)о = ехр (-"ftPpD) фо (t) Q)о, (16.51)
которая, пригодится в дальнейшем.
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed