Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
нужно оставить линейные, квадратические и кубические члены. Поэтому будем
иметь
Зная входящую в (31) матрицу /а, pYe и задавшись диссипационно-
неопределяемой матрицей cap,Ya, удовлетворяющей условию (10.22), по
соотношениям (10.23)-(10.25) можно определить матрицы /ap(Y6> Unv,6i
1<хцуб- Тем самым определяются функции (32) (двух- и трехиндексные
матрицы в (32) определены ранее). Далее, применяя простую формулу (18),
можно найти
Относительная погрещнэсть этих равенств есть о (1) и согласно приложению
5 (см. (П5.9)) допустима. Функции же Ка (В), /(<*" (В),
94
+ V + 'a.' PV^] -^Чза (В) ^ра (В) -
Ka(B) = ffa(B) + kT
дфа (В) р-1
-ЩГ^
Fl\(B)vy(B)-
(11.30)
(х) - Ах, р-^р " Г V2^а, -j- Ve^a, pY6-^p'lt4''^6•
(11.31)
Другие функции берутся в виде
^aP (-^) == " Г (ар, фу " Г Vsfcp, у6-^фб>
^aPv (%) 1<хpY "Ь ^a3Y, Фб> ^apY6 (%) (apY6'
(11:32)
(11.33)
Как видно из (П5.9), следует находить с большей точностью, а именно -•
путем использования (16) и (17). Если при определении Ка (В) исходить из
полной функции (9), а не из приближенной (31), то в линейно-квадратично-
кубическом приближении будем иметь прежнюю формулу (30). Если же
воспользоваться равенством (31), то получим
^ ^ э* -щ -щ; + Уе1а, м
- W (la, ?в + 1а, Рт6 Д-) Fyb (В). (11.34)
Любая из формул (30), (34) допустима в рассматриваемом приближении.
Применяя, наконец, (16) и (17) к первому равенству (32), находим
последнюю неизвестную функцию
К (R\ = I Л-1 др ^ : 1, / др (B)dF (В)
Дар (В) 1ар [ tap, 7 fifty /2'аР, уб fifty fift^
<ll35>
Этим исчерпываются те приближения, которыми мы будем пользоваться.
В заключение отметим, что приведенные выше формулы, по которым строятся
коэффициенты кинетического уравнения, становятся несправедливы в
аномальных случаях, когда функции фа (Л) недифференцируемы при А = 0.
Тогда формулой (9) пользоваться нельзя, так как (я) при этом окажется
недифференцируемой. В этом случае нужно определять ха (х) по формуле
(5.32) при Ка (В) = фа (В). Пример описанного аномального случая будет
приведен в следующем параграфе.
6. Некоторые формулы модифицированного варианта. Приведенное выше
рассмотрение может быть проведено и в модифицированном варианте. При
этом, конечно, следует пользоваться формулами (10.27) и т. п. В
модифицированном варианте все формулы будут иметь аналогичный же вид,
разница будет в том, что вместо kT будет стоять k, вместо /... должно
быть L а вместо F (В) надо ставить -S (В). Так, вместо (21) будем иметь
Ка (В) = -La, р (В) = -2kKfiLa, р ,
а вместо (25) и (26) - равенства
КаЬ (В) = LePv, /СаР (В) = LaP - Lap, v ЦШ-, (11.36)
где LaPv и La&ty определяются соотношениями (10.27). Аналог формулы (29)
будет иметь вид
д' /р>\ т (В) II/ г (В) (В) -L.il ЬТ с?25 (В)
Да (В)- Да, р + /фа> (V, щ- ^ дВ^ дВу '
95
Этому выражению соответствует такая форма феноменологического
уравнения:
л т dS (А)
Л" ~ La< Р дА*
,, , <55 (A) <55 (А)
/2l", Pv дА°
дАу
(11.37)
Нет нужды приводить другие формулы в модифицированном варианте.
§ 12. Примеры применения соотношений линейной неравновесной термодинамики
1. Формулы для двухвременных корреляторов в случае линейной
релаксации. Прежде чем рассматривать конкретные примеры, выведем ряд
общих формул. В случае систем с линейной релаксацией феноменологические
уравнения (11.1) принимают вид (5.13). Переходя от средних значений
внутренних параметров к случайным значениям Ва, из (5.13) получаем
уравнения
Ва = -dafiBp -f- Ер, Р - 1, 2,. . .
(12.1)
Здесь Ei, Ег, ••• -случайные процессы, имеющие нулевые средние значения и
корреляционную функцию (11.24). Уравнение (1) совпадает с (11.23) при
квадратичной свободной энергии (5.14). При этом должно выполняться
соотношение
day la, p^Pv<
вытекающее из второго равенства (11.21). Запишем уравнение (1) в
матричной форме:
(12.2)
(12.3)
где
D = \\d.
¦аР I
В:
Вг ь
II
Вт
В матричной форме записи (2) и (11.24) имеют вид D = -LU,
(1(h) lT(h)) = ~2kTL08(h-t2),
L - I la, р ||. Z° = ||Oip/".pf, U=\\Ua р ||, ?T = ||?l,...,H Переходя к
спектрам Ва (со) = (2л)"1/2 | ехр (-Ш) Ва (/) dt, la (ю) = (2л)-1/21 ехр
(-ко/) Ев (/) dt,
96
(12.4/
(12.5)
уравнение (1) можно записать в виде (ко/ -)- D) В (со) = | (со)
U =||бар||). Разрешая данное уравнение относительно В (со), получаем
В (со) = (гсо/ "Ь D) ^ (со).
Из этого равенства непосредственно следует, что
(В К), Вт (со.)) = (ссоГ/ + D)-i(g (coj), ёт (со.)) (/со2/ ( /У)'1.
(12.6)
Если использовать формулу (П6.2) из приложения 6, устанавливающую связь
между коррелятором спектров и спектральной плотностью, то из (6) будем
иметь
SB (со) = (/со/ -f- D)"1 Sg (со) (-/со/+ /У)"1 (12-7)
(S (со) = I SaP (со)I). Вследствие (5) и определения (П6.4) спектральной
плотности имеем
Sg (со) = -2kTL°.
Поэтому из (7) вытекает такой результат:
SB (оо) = - 2kT (/со/ + Ъ)~1Ь° ( - /со/ + DT)~K . ^ 2
Вследствие соотношения (10.10) входящую сюда матрицу L0 -
= 1 la, р SI можно представить в виде (L -f- LT)/2.
В том частном случае, когда все параметры имеют одинаковую
