Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
флуктуаций? Следует ли трактовать -/ (QIC) как Кх (Q) или как xL (х (Q))?
В последнем случае мы имели бы
{ -Sx при х> О,
М*) = -/<*) = { о при х<0, <12-38>
поскольку х (Q) = dW/dQ = QIC.
Легко понять, что трактовка (38) неправильна, поскольку согласно (37)
функция Хх (х) обязана быть сглаженной, а здесь она имеет излом.
Попробуем положить
Кх (Q) = -/ (QIC). (12.39)
Тогда после подстановки (39) в (37) будем иметь
ОО
X, (*) = - (5/С) (2nkTC)-'/' J ехр [-V2(ЗО1 (Q - xCf\Q dQ. (12.40)
о
Полагая здесь х = 0, имеем
оо
7 = Xl(0) = - (5/С)(2nkTC)-1/' J ехр [- (2С)-1 (3Q2] QdQ =
о
= - (2ярС)-*/* 5. (12.41
Отсюда видно, что обязательное соотношение (10.8) не выполняется. Значит,
равенство (39) неправильно. Чтобы исправить положение, добавим сдвиг на
величину (41), положив
Кх (Q) = -/ (Q/C) + (2лрС)->/2 5. (12.42)
Тогда вместо (40) будем иметь
ОО
X! (х) = - (5/С) (2яkTC)-1!* J ехр [- (2С)-1 р (Q - Cxf) Q dQ -
+ (2jtpQ-'/. 5. (12.43)
О необходимом вертикальном сдвиге характеристики несимметрично
проводящего нелинейного резистора уже шла речь в п. 7.3. При помощи (43)
находим входящий в соотношение (10.10) коэффициент
ОО
/i, 1 = (dxi/dx)x=о= - (SIC) (2nkTC)-1!? р j ехр [-2~^C~lQ2] Q2dQ.
о
Это равенство можно записать в виде /ы = -(PS/2C) (Q2), где (...)
обозначает усреднение с весом (35). Поэтому
lx,x=- S/2. (12.44)
Используя первое равенство (11.21), отсюда получаем Kxi (Q) = kTS.
103
Итак, по феноменологическому уравнению (34) восстановлен фоккер-
планковский оператор кинетического уравнения
d v /п\ \ ^TS д2
где Ki (Q) задается формулой (42). Допуская большую погрешность, вместо
(42) можно взять линейную функцию 1Ь1х (Q). При этом -//////а
феноменологическое уравнение примет вид
Q = _72(S/C)Q, и по формуле (12) можно найти корреляционную функцию
флуктуации заряда:
{Q (t + т) Q (t)) = kTC ехр [-(2C)-1St] при т > 0.
Использованный прием избавления от нелинейности является, в сущности,
методом статистической линеаризации. Его можно применять и в других
случаях разры-Рис. 12.4 вов аналитичности, скажем, в случае частицы с
"сухим" трением: /тр = -/0 sign V (/тр - сила трения, v - скорость
частицы). В этом случае, в отличие от (44), коэффициент /т будет зависеть
от температуры.
6. Механический осциллятор. Пусть имеется тело массы т, подвешенное на
пружине с жесткостью х (рис. 12.4). Обозначая через у отклонение тела от
положения равновесия и учитывая жидкое трение, имеем феноменологическое
уравнение движения
ту + уу + Щ = 0,
где у - коэффициент жидкого трения.
Обозначая у = и, это уравнение можно записать в виде системы двух
уравнений первого порядка
mil =-yv-ку, у = V. (12.45)
Будем трактовать у и импульс р = mv как внутренние параметры Ах и Аг.
Учитывая кинетическую энергию тела и энергию пружины, запишем полную
энергию:
U (У. Р) = Р2/2т + V* КУ2- (12.46)
Свободная энергия F (у, р) в данном случае совпадает с (46). Применяя
формулу (5.30), находим сопряженные с у и р параметры
xi = х2 = р/т =v. (12.47)
Учитывая (47), уравнения (45) можно записать в такой приведенной форме:
у =х2, р = -Xj - ух2. (12.48)
Здесь в левой части стоят производные от Аъ А2, а в правую входят только
сопряженные переменные. Уравнения (48) можно трактовать как уравнения
(11.5). Из (48) видим, что выполняется соотношение взаимности
ll, 2 = h, 1-
104
Точно такое же соотношение вытекает из (10.11) при =-1. В данном случае у
- четная по времени переменная, так что ех = 1, а р - нечетная (е2 = -1),
поэтому равенство = -1 действительно выполняется.
Если в правой части (48) переменные х1г х2 выразить через у, р, учитывая
(47), то будем иметь
у - tn~1p, р = -ху - ут_1/7.
Эти уравнения являются примером уравнений (5.13), причем равенство (46)
является конкретизацией равенства (5.14). Из сравнения указанных формул
получим матрицы
~ /0 -тГ1 \ /к 0 \
?от-х) . = I=(om-1)- (12.49)
Подставляя (49) в (13), находим для рассматриваемого случая ~ /р -пг1
\-1 /к-1 0 \
F (p) - kT ( . ( п .
' (кр + ут1/ \ 0 т!
Вычисляя обратную матрицу, отсюда имеем
/ (р + утг1) х^1 1 \
F (р) = kT (р2 + рут Чш1)1] j рт ) •
Теперь по формуле (14) нетрудно найти матрицу спектральных плотностей.
Ограничимся тем, что приведем ее диагональные элементы:
Sn (со) = S" (со) = Fn (/со) + Fn (-/со) =
2kTyQ~1 (со),
S22 (со) ее Sp ((c)) = F22 (/со) + F22 (-/со) =
2kTym2ti>2Qr1 (оо),
где Q (оо) = (х - moo2)2 + у2со2.
Таким же способом анализируются, скажем, процессы в электрическом
колебательном контуре.
7. Полевой случай. Уравнения Максвелла и их трактовка с точки зрения
линейной неравновесной термодинамики. Как известно, в электродинамике
рассматриваются векторные поля: напряженности электрического и магнитного
полей Е, Н и соответствующие индукции D, В. Не будем ограничиваться
случаем линейной электродинамики. В качестве основных внутренних
параметров возьмем поля D и В. В роли вектора внутренних параметров Аа в
данном примере будем брать D (г), В (г). Следовательно, индекс а при Аа
