Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы избавиться от входящего в (63) дифференциального оператора Д,
удобно рассматривать пространственные спектры
(12.61)
(12.62)
6Х = - рбх + уб2 + DjASj, б2 = 2|3бх - 2у82 + D,Дб2, (12.63)
uij (n, r2) = (RT/c?) б (гх - г2) б г/.
(12.64)
(12.65)
Для них вместо (63) будем иметь уравнения
6Х (к) = -(Р + Dxfe2) бх + уб2, б2 (k) = 2Р6Х - (2у + D2k2) б2,
(12.66)
108
а вместо матрицы (64) матрицу
V ¦
Сравнивая (66) с (5.13), получаем матрицу .2 _г ,
8 (&i + k2)
D
(12.67)
(12.68)
X
X
б {kx + k2). (12.69)
2р 2у + D2k\ j Учитывая (67), (68), по формуле (13) получаем F (р) = У а
1 ((р l dA + р) (р + D2k\ + 2у) - 2РуГ
((р +ЩЬ\ +2т)с? ^
^ 2pcJ (р + Dxk\ + р) c2j
Далее по формуле (14) можно найти временную спектральную плотность для
спектров (65). В приложении 6 показано, что временная спектральная
плотность случайного пространственного спектра просто связана с
пространственно-временной спектральной плотностью (формула (П6.10)).
Учитывая (14) и указанную формулу, при помощи (69) нетрудно найти
пространственно-временную спектральную плотность процессов 6* (г, t), т.
е. ct (г, t). Приведем окончательную формулу для спектральной плотности
процесса сх (г, t):
SCl (k, со) = 21Va'c? {(D2k2 + 2y) [AD2?4 + (2yDx + pD2) k2 - (c)2] +
+ со2 [(D, + D2) k2 + p + 2y]) ([D{D2kA + (2VA + PA) k2 - со2]2 +
+ co2[(DI + D2)/j2 + p + 2y]2}-1. (12.70)
Подобный же вид имеет и спектральная плотность флуктуаций с2 (г, t).
Чтобы ее получить, в (70) нужно заменить индекс 1 на 2 и наоборот, а
также поменять местами р и 2у.
9. Тепловые флуктуации скорости жидкости или газа. Как известно,
феноменологическое уравнение вязкой жидкости или газа имеет вид
р [v + (z>V) = - grad р + r]At> + (? + 3_1Г)) grad div v (12.71)
(см., например, § 15 из книги [26]). Здесь <о - зависящий от радиус-
вектора г вектор скорости, р и р - плотность и давление, г), ? -
постоянные коэффициенты вязкости. К уравнению (71) следует еще
присоединить уравнение непрерывности
р=-div(p(c)).
Пусть р0, р0, v - 0 - равновесные значения (конвекция при равновесии
отсутствует); р0 и р0 от г не зависят. Рассмотрим малые флуктуации
скорости, плотности и давления и линеаризуем указанные уравнения по V, р'
= р - р0, р' = р-р0. Будем иметь
v = - рйГ1 grad р + + (С + 3^'л) Р^1 grad div v,
р' = - p0div v.
109
Кинетическая энергия жидкости такова:
tf["(r)] = 1/.PoJ"#(r)dr. (12.73)
Взяв К. в качестве F, по формуле (5.30), т. е. по формуле xi(r) =
bF[v]/&oi(r), = 1,2,3, (12.74)
находим сопряженные с их (г), и2 (Г), v3 (г) параметры
*2 (Г) = РоИ (г), i= 1,2,3. (12.75)
Найдем теперь полевой параметр xt (г), сопряженный с р' (г). Будем
пренебрегать теплопроводностью в жидкости (или газе). Тогда в формуле
типа (74) в качестве F следует взять функцию Н = U -f p0V, зависящую от р
(г), т. е. будем иметь
*4(г) = (дНЮР% = (бН [р (г)]/6р (r))s (12.76)
(дифференцирование ведется при постоянной плотности энтропии s (г)).
Разобьем пространство на отдельные объемчики AVa и представим Н [р] в
виде суммы по отдельным объемчикам. Для каждого объемчика справедливо
термодинамическое равенство
dUa - TadSa - pad (AVa), т. е. dHa == Та dSa - Ра d (ЛБД.
(12.77)
Если АМа- масса жидкости в ДУа, то Д = АМа/ра.
Поэтому
d(AVa) = - р"2браАЛ4а = - Ра'брадуа. (12.78)
Мы предполагаем, что в рассматриваемых объемчиках находится постоянная
масса жидкости и что они деформируются при движении.
Подставляя (78) в (77), суммируя по различным объемчикам и переходя к
пределу max ДУа ->-0, получаем
6Я [р (г)] = J Т 6s (г) dr + J 6р (г) dr (s = dS/dE).
Отсюда согласно (76) находим
*4 (г) = р-1 (г) р (г) " рЕГУ (Г). (12.79)
Если в правой части (72), используя (75), (79), переменные р', v выразить
через лд (г), i =1, ..., 4, то получим приведенные уравнения
v = - grad *4 + т1рБ~2 Ал: -f (? -f 3^'ri) р(Г2 grad div х,
я
р== - div л:.
Тем же способом, что и в п. 7, легко убедиться, что соотношения
взаимности (10.11) для них выполнены.
110
Возвратимся к (72) и заменим в первом уравнении р' на
(lp" ' Перейдем от v (г), р' (г) к пространственным спектрам
о (к), р'(к), которые определяются по аналогии с (65). Тогда будем иметь
уравнения
v (k) = aikp (k) - y\polk2v - (? + 3_Ip) piT1* (kv),
(Iz.oU)
p' (k) = Poikv,
где a = pi)1 (dp/dp)s. Если ввести продольную и поперечную скорости
vn=(kv)/k, v±=v (12.81)
то система уравнений (80) распадается на уравнение для поперечной
скорости
(r)_l = - г| p^'k2v± (12.82)
и на систему уравнений, затрагивающую продольную скорость, v II (k) =
aikp (k) - ?polk2v II > р = Poikv (12.83)
где I' = ? + 4г)/3.
Формулу (73), которая для спектра имеет аналогичный вид:
К - 1/яРо J v2(k) dk,
можно представить в силу (81) в виде суммы слагаемых
К = VsPo J A (k) dk + Vspo J v\ (к) dk, (12.84)
соответствующих продольным и поперечным скоростям. Из (84) получаем
поперечную и продольную матрицы (11):
HxHIPoMI- и" =ро. (12.85)
Используя (82), (83), (85), по формуле (9) нетрудно найти
пространственно-временную спектральную плотность скоростей. Она состоит
