Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Нелинейная неравновесная термодинамика " -> 34

Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика — М.: Наука, 1985. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaneravndinamika1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 178 >> Следующая

при (- l)m еах. . . е"терх. . . еря = - 1.
Ряд, стоящий в правой части (46), вовсе не является бесконечным. Из (45)
видно, что действие оператора Q уменьшает число индексов, стоящих справа
от запятой. Это число не может быть отрицательным. Поэтому Q2/+1/ax ...
am, рх ... рп = 0 При 2/ + 1 > П. Число членов в правой части (46) равно
целой части дроби (п + 1)/2.
Формула (46) и есть искомая новая форма многоиндексных соотношений. В
частности, учитывая (35) и (45), имеем такие соотношения:
1а1-ат=0 ПрИ *4- • т=1' 2. • • •;
fcX".amP= 2 kT lar. .ат, $ При eax ... 8"meP = ( l)m+1,
m = 0, 1,... ;
lav..amP, v + ^ax...amv, P= 2kTlai...am, Pv
при Eoj . . .ЕатерЕу = (-l)m+1, Ш = 0, 1,...
88
Все эти и другие соотношения из (46) независимы друг от друга. При помощи
них также можно получить основные двух-, трех- и четы-рехиндексные ФДС,
выведенные в п. 2.
§ 11. Использование ФДС для приближенного определения коэффициентных
функций
1. Феноменологическое уравнение, исходное и приведенное.
Пусть неравновесные средние Аа = (Ва) удовлетворяют феноменологическим
уравнениям
Аа = (ра(А), а = I,..., г. (11.1)
Отсутствие последействия в (1) согласуется с предположением, что процесс
В (t) является процессом без последействия, т. е. процессом Маркова. По
виду феноменологических уравнений (1) и свободной энергии F (А) можно
приближенно определить коэффициенты кинетического уравнения. Этим мы
займемся в данном параграфе.
Удобно предположить, что равновесные значения Аа, минимизирующие
свободную энергию, равны нулю; это предположение не связано с
ограничением общности. Тогда
dF (А)/дАа = 0 при А = 0. (11.2)
Поскольку равновесные значения являются стабильными, не меняющимися во
времени, правая часть уравнений (1) должна удовлетворять равенству
Фа (0) = 0, а = 1, ..., г. (11.3)
Нужно заметить, что феноменологическое уравнение (1) носит
макроскопический характер. Поэтому функцию фа (А) нельзя считать
определенной с микроскопической точностью, - иначе говоря, фа (А)
определяются с погрешностью о (1) по параметру kT. Функции фа (А) поэтому
с одинаковым успехом можно интерпретировать и как фа ((B)), и как (фа
(В)). Несмотря на это, требуем, дополнительно, чтобы равенство (3) для
выбранных функций фа (Л) выполнялось точно.
Записывая формулу (5.55) для значения m= 1, имеем
<?">* = *"(*). (11.4)
где
<¦••>*= f {...)Bwx{B)dB.
Если (В)х интерпретировать как Аа (х), то (4) примет вид
Ла = Ка (х) при Х = Х(Л). (11.5)
Это уравнение называем феноменологическим уравнением в приведенной форме.
Сравнение (5) с (1) дает
Фа (А) = ха (х (А)).
(11.6)
89
Поскольку функции фа (А) не точны, в равенстве (6) нет смысла брать
точную зависимость х (А). Достаточно взять простую зависимость (5.30).
Тогда будем иметь
Фа И) = иа (dF (А)!дА). (11.7)
Последняя формула позволяет найти функции ка (х), если известно уравнение
(1). Если преобразованием Лежандра
G (х) = F (А (х)) - хА (х) (11.8)
(где зависимость А (х) обратна х = dF (А)/дА) ввести функцию G (х), то
будет справедливо равенство
Аа = -dG (х)/дха.
Учитывая его, приводим равенство (7) к виду
%а (х) = Фа (-dG (х)/дх). (П.9)
Дифференцируя (9) по хр,, Хр2, ... и полагая х = 0, можно в соответствии
с формулой (10.5) найти 1а, рхр2... р .
Затем по этим матрицам, применяя марковские ФДС, можно найти другие
матрицы /аР, /ap,v> •••> ^а|ц>> ••• и т- п- По ним уже можно найти
коэффициентные функции /Са,...а (В).
2. Приближенная связь между коэффициентной функцией и ее изображением.
Точная формула связи (5.32) между функциями
Ка1...ап(В) И Ка ...а (х) Нв ОЧеНЬ удобна ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВЭНИЯ.
Выведем несколько более простых, но приближенных формул. Обозначим
та (х) = (Ва)х = } Bawx (В) dB и ДВа = Ва - та (х). Тогда (5.32) можно
записать в виде
. ,а,п{х) = (Ka1...an{tn (х) -j- ДВ))*.
Производя разложение в ряд по А В, отсюда получаем
Xar..an(x) = (A\...an(m (*)) + (" 00) АВр +
+ ~2 дВ?1 дВу П (т W) + ' " )* =
= Каг.. ,ап (т (X)) + ± (т (X)) (АВр АВУ)Х + • • • (11.10)
Равенством
ехр (-РФ (х)) = j ехр фхВ - рF (В)) dB, (11.10а)
напоминающим (2.60), введем функцию Ф (х). Для нее, как нетрудно
проверить, будут справедливы формулы
(Ва)* = та (х) = -дФ (х)/дха,
(ДВа ABV)* = (В", Ву)х = -НГдРФ (х)/(дха дху), (11.11)
(АВа ДВр ДВ,)* = (Ва, Вр, Ву)х = - (kTf д3Ф (х)1(дха дх{, дху),
90
аналогичные (2.24). В том случае, когда справедлива формула (5.33),
функцию Ф (л:) несложно выразить через F (а). Используя (2.55), найдем
Ф (х) = F (а0 + х).
Тогда равенства (11) просто совпадают с равенствами (2.24) при т - 1, 2,
3. Однако (11) имеют место и в том случае, когда (5.33) непригодна.
Подставляя второе равенство (11) в (10), получим ка1...ап(х) =
Может быть найдена и более точная формула. Если же в (12) пренебречь
поправочным членом порядка kT, будем иметь
что аналогично (5.29), если -5Ф (х)/дх заменить на А (х) = = -dG (х)/дх.
Обозначим через % (В) зависимость, обратную зависимости В = = т (х) = -дФ
(х)!дх. Тогда равенству (12) можно придать вид
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed