Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
из продольной и поперечной частей:
Sij (со, к) = (ь" - k-^-) S± (со, к) (со, к). (12.86)
В случае малой сжимаемости основной вклад дает поперечная часть. Найдем
ее. Из (82), (85) и (4) имеем Dx =rIPoxk4, L = L0 = = -г|рg2k2I. Поэтому
по формуле (9) получаем
S.4., ,л, (со) = kBT 2 22y,- 6<J6(к, + к2). (12.87)
О) Pq ~г т| "
ш
Используя формулу (П6.10), связывающую временную спектральную плотность
от пространственного спектра с пространственно-временной спектральной
плотностью, из (87) будем иметь
Последнее равенство следует подставить в (86).
В заключение этого параграфа отметим, что в линейном приближении,
используя стохастическое уравнение (11.23) или кинетическое уравнение,
можно найти также неравновесные корреляторы или моменты, причем
неравновесность может задаваться, скажем, начальными условиями.
§ 13. Примеры применения марковских ФДС
нелинейной термодинамики
1. Простая цепь с конденсатором и нелинейным сопротивлением.
Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 12.2, но вместо (12.33) возьмем
вольт-амперную характеристику нелинейного сопротивления:
В отличие от п. 12.5 будем рассматривать не линейное, а
линейноквадратичное приближение. Подставляя (1) в уравнение (12.34),
найдем
Чтобы получить уравнение в приведенной форме, нужно в правой части (2)
выразить заряд Q через сопряженный с ним параметр
Это уравнение является конкретизацией уравнения (11.5), причем
Применяя формулы (11.25), (11.26) и учитывая, что параметр Q является
четным по времени, получаем
/ = /(V) =SV+ V2yt/2.
(13.1)
(13.2)
х = dW/dQ = QIC. После этого будем иметь Q = -Sx - V2 ух2.
(13.3)
h,i - S, htii - У-
(13.4)
Kn (Q) = 2kTS + kTyQ/C, Km (Q) = 0.
Далее вследствие (4) по формуле (11.29) находим
(13.5)
(13.6)
112
В силу (5), (6) данная система описывается кинетическим уравнением
"(0 = (0) + -i-[(-f - *Г) "<">] +
+ ^Г-|Л<М0|, (13.7)
которое является конкретизацией уравнения (3.17). Здесь
L - ^ 'SQ I ЬТ с д2 1 3Q с ' dQ2
- оператор линейного приближения. При решении уравнения (7) величину у
можно считать малым параметром; в действительности же малым является
такой безразмерный параметр: уа _ у / kT у/2
-& =+(?) ">¦ <138>
Я
где а2 = (Q2) = йТС. Неравенство (8) выполняется, поскольку постоянная
Больцмана k, входящая в (8), является микроскопической величиной, про-
Рис [3 \ чие же величины носят макроскопический характер.
Первую формулу (5) можно записать при помощи эффективной крутизны 5афф
следующим образом:
= 2/гТ5Эфф,
где
5эфф = 5 + -|§- = 5 + -р. (13.9)
Тогда формула для Кц в линейно-квадратичном приближении будет аналогична
формуле линейного приближения:
Ки = 2 kTS.
Из (9) и (1) видно, что в роли эффективной крутизны 5эфф выступает
средняя крутизна Scp = I (V)/V.
2. Цепь с индуктивностью и нелинейным сопротивлением. Рассмотрим
теперь цепь, где вместо конденсатора поставлена катушка индуктивности L
(рис. 13.1). Пусть характеристика нелинейного сопротивления задается
прежней формулой (1). Разрешая итерациями уравнение (1) относительно V,
имеем
V = g(I) = R1 + Ч2аР+..., (13.10)
где R = 1 /S, а = -y/S3. Данной цепи соответствует феноменологическое
уравнение
= = (13.11)
В качестве внутреннего параметра Аг возьмем "импульс" р = L1. Поскольку
энергия индуктивности равна
W = р\
ИЗ
сопряженным с р параметром х = dWIdp будет ток I. Уравнение (П) в
приведенном виде запишется так:
р = -RI - VaaР.
Это уравнение является частным случаем (11.5) при /15! = -R, /1)П = -а.
Используя (11.25), (11.26) и учитывая временную нечетность "импульса",
находим
Ки (Р) = 2kTR + ZkTap/L, К1П (р) = -6 {kTf а. (13.12) Далее, по формуле
(11.29) получаем
v t \ R аР2 I kTa
1<Лр) = ~-гр-^г+жг-
Таким образом, флуктуационно-релаксационный процесс в рассматриваемой
цепи описывается уравнением
w (р) = L,w (") 4- ± [(-?. - *7-) ю] +
+ + <13ЛЗ)
где
г R д , Urp D д2
Ll -~r~dfp + kTRw
- оператор линейного приближения. Полученное уравнение не является
уравнением Фоккера-Планка.
Первую формулу (12) по аналогии с формулой линейного приближения Кп =
2kTR можно написать в виде
Ки = 2kTRrm. (13.14)
Входящее сюда эффективное сопротивление
R.m = R + 3UaI (13.15)
не совпадает со средним сопротивлением Rcp = V {1)11, а совпадает с
сопротивлением, определяемым формулой R1 = 7ad2 {IV{1))/дР. Вследствие
формулы
Kn{U) = lm[^{{Apf),]
т-И)
(см. (3.18)) равенства (14), (15) определяют корреляционную функцию (Б
(tf I (/2)) = 2kT [Д + 3/2а/ + О {Р) ] б & - t2) (13.16)
случайного шума ? (0> входящего в уравнение L dl/dt = Кг (LI) + + I {t).
Из этого уравнения видно, что ? (/) имеет смысл случайной электродвижущей
силы, возникающей в нелинейном резисторе при протекании через него тока.
Формула (16) справедлива и в том случае, когда через нелинейный резистор
течет постоянный ток, вызванный источником тока (скажем, электрическим
элементом), дополнительно включенным в цепь. Шум | (/) нельзя считать
гаус-
114
совым, так как в этом случае член с третьей производной в (13)
