Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
обратное преобразование Фурье по z, отсюда находим производящее равенство
exp(xs)G(s, x) = G(-es, ex) при s^= 0. (9.13)
Итак, спектр G (s, x), удовлетворяющий условиям (4), (13), определяет все
изображение R (у, х) за исключением временно-нечетной части Ка (х),
ограниченной условием (12).
Согласно (3) и (5.31) имеем
°° т 1 °°
2 Лгг Ха1¦ ¦ ¦ ат М Уа1 ¦¦¦ Уат = J [еХР ^ _ 1 _ yS] S~2<3 (S'X)ds-
т.-2 -оо
Отсюда видно, что коэффициенты ка1а2 (a), xaia2a3 (а), ..., описывающие
флуктуации, определяют спектр, и обратно. Учитывая (8), видим, что
указанные коэффициенты в случае временно-четных параметров полностью
определяют коэффициент ка (х). В общем случае имеется еще указанный ранее
относительный произвол в выборе Ка (х).
Часто ставится обратная задача - задача определения коэффициентов,
соответствующих флуктуациям, т. е. всего изображения R (у, х), по первому
коэффициенту ка (х), который задается феноменологическими уравнениями и
свободной энергией. Из вышеизложенного видно, что для этого следует
подобрать спектр G (у, а), удовлетворяющий условиям (4), производящему
равенству (13), а также дополнительным равенствам (6) и (7). Конечно, при
этом выбор спектра неоднозначен. Уточнить спектр помогают физические
соображения, касающиеся механизма флуктуационного процесса, а также
соображения простоты.
Мы не будем здесь приводить примеры подбора спектра, а ограничимся тем,
что приведем несколько конкретных спектров.
3. Примеры спектров. 1) Возьмем изображение (7.25) для диодной модели
нелинейного сопротивления. Сопоставляя (7.25) с (3), имеем
1 (U) = -h [ехр (ftepU) - exp (-$eqU)]\ (9.14)
"p7 {[exp (~$ey) - 1 + §ey\ exp ($epU) +
+ [exp ($ey) - 1 - Pey] exp (-$eqU)\ =
= J [exp (jys) - 1 - г/s] s-2G (s, U) ds. (9.15)
77
Из (15) нетрудно получить G (s, U) - рeli [ехр (РepU) б (s + Р") -f
+ ехр (-рeqil) 8 (s - ре) ]. (9.16)
Входящее сюда отношение elkT можно считать макроскопической величиной.
Очевидно, что для этого спектра условия (4) выполняются. Легко проверить
также, что он удовлетворяет производящему равенству (13). Кроме того, для
выражений (14), (16) справедливо соотношение (8).
2) Обратимся теперь к химическим реакциям, которые анализируются при
помощи параметров полноты реакции. Для этого случая нами было получено
изображение (8.46). Сравнивая его с (3), нетрудно получить для случая
двух реакций
G (Sl, sa, Аъ Ла) = (RT)-Wh (I (Л)) [6 (Sl - MRT) +
+ ехр (.AJRT) б (Sl + \IRT) ] б (sa) + {RT)^Vf2 (I (Л))х
X [6 (s2 - MRT) + exp (AJRT) 6(s2 + MRT)] 8 (Sl).
Каждый из двух членов правой части по форме напоминает (16) и
удовлетворяет равенству типа (13).
В приведенных примерах параметры были четными по времени. Перейдем к
случаю параметров различной четности.
3) Возьмем изображение (7.2), соответствующее случаю линей- . ной
релаксации при квадратичной свободной энергии. Сравнивая его с (3), имеем
Будем искать функцию G (s), удовлетворяющую равенству (18), в виде
получаемого из (18) двукратным дифференцированием по г/р, суммированием
по р и приравниванием у нулю. Подстановка (19) в (20)
78
(Д М, и'С'
(9.17)
ОО
1а, еУаУр = - I [ехР (ys) - 1 -ys]s2G (s, х) ds,
(9.18)
- ОО
где
¦ayUyp .
G (s) = C8 (s).
Входящую сюда константу С найдем из равенства
(9.19)
ОО
(9.20)
Р
->00
дает
С = -2 /р, р-
3
Если теперь подставить (19) в (18), то получим
(9.21)
Интеграл в правой части (21) дает неопределенность типа 0/0. Чтобы
устранить эту неопределенность, следует рассматривать уточненные дельта-
функции, введенные в приложении 2, п. 2. При этом (19) следует заменить
на формулу
Здесь использована формула (П2.18), интеграл соответствует интегрированию
по обобщенным полярным углам r-мерного пространства. Из теории,
изложенной в п. 2 приложения 2, видно, что равенство (23) будет
удовлетворяться, если в качестве распределения Р (tn) взять распределение
(П2.26) при
^а(3 = V2 (/а, 3 ~Ь /р, a)j Zj /|3, 3-Предполагается, что в
рассматриваемом случае 2j^p,p?=0.
Найденный спектр (22) неотрицателен. Применим равенство (13) к
полученному спектру. Поскольку (13) несправедливо при s = 0, в (22) под
дельта-функцией следует понимать некоторую аппроксимацию этой функции,
имеющую конечную, но весьма малую ширину е. Тогда точка s = 0 будет
несущественна и ее можно не принимать во внимание. Подставляя (22) в
(13), при указанной оговорке будем иметь
р + /р, а = еаер (1а, р + /р, а)-
Для получения более сильного равенства
/а, р = 6аЕр/р, а,
т. е. равенства (7.3), следует использовать (17) и (7).
В приведенных примерах спектры дискретны. Конечно, это не всегда так.
Если в марковском процессе происходят скачки на случайную величину,
имеющую непрерывное распределение вероятностей, то спектр непрерывен,
G (s) = - 2 ст I] /р, рр (s/s) би (s),
(9.22)
3
и равенство (21) примет вид
(•а, уУаУу == УаУу /р, р J ttlattlyP (til) d?2.
(9.23)
79
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ЛИТЕРАТУРЕ К ГЛАВЕ 2
Кинетический потенциал другим способом вводился в [7]. Впервые временная
