Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
6.1-6.4, будет справедливо только, если в нем произвести соответствующие
уточнения. Именно, обращение времени всюду должно сопровождаться
изменением знака магнитного поля. При этом вместо (6.21) будет
справедливо равенство
Ub-. гв (-H)w (гВ | -Н) = LBB. (tf) w (В' | Н), а вместо (6.33) -
производящее равенство
R Д + *, х, H) = R (~гу, гх, - Н). (10.29)
Если исходить из (29) вместо (6.33), то, как нетрудно понять, выкладки,
приведенные в пп. 1 и 2, сохранят свое значение, но при
85
Этом в тех Членах, которые содержат сигнатуры е, нужно изменить знак у
магнитного поля. Так, вместо (11) и (13) будем иметь
/|3, а (Н) ~ eaeflfc, р ( H)l
/pV, а Ш) = kT [Wv'a, Pv i-H) - h, *7 W) ~ ly, "|3 (Я)]. ' ^
Аналогичные изменения следует произвести и в других основных ФДС. В
формуле (10), вытекающей только из динамического равновесия, никаких
изменений не произойдет. Если вместо Н имеются другие нечетные по времени
внешние параметры, то Н в соотношениях (30) и других нужно заменить на
них.
5. Функции /?+, R_ и связь между ними. Из п. 2 видно, что соотношения,
получаемые дифференцированием равенств (2) в нулевой точке, частично
дублируют друг друга, т. е. не все соотношения являются не зависимыми
друг от друга. Чтобы получить независимые друг от друга соотношения,
следует изменить способ их вывода. Равенством
2R+ {у, х) = R (у, х) ± R (-ег/, гх) (10.31)
введем вспомогательные функции. Из (31) следует, что
R (у, х) = Р+ (у, х) + R_ (у, х), _
R {-гу, гх) = R+ (у, х) - R_ {у, х).
Подставляя (32) в производящее равенство (6.30), получаем [ехр (хд/ду) +
1 ]R_(y, х) = - [ехр (хд/ду) - 1]Д+ (у, х).
Подействовав на обе части полученного равенства оператором [ехр (х д/ду)
+ 1 будем иметь
(Уу х) = -th (1/2х д/ду) R+ {у, х). ¦ (10.33)
Это равенство - одна из форм производящего равенства. Видим, что нечетная
часть R_ изображения полностью определяется четной частью R+. Входящую в
(33) функцию th (г/2) можно представить в виде ряда
оо
th(z/2) = c2/+i22/+1, (10.34)
/=о
где
22/+2 .
WT 2)!
^2)+2 - числа Бернулли. Первые три коэффициента ряда (34):
С\ = XU, с3 = -V24, съ = V240. (10.35)
Подставляя (5.31) в (31), будем иметь R±(y, х) =
оо
= -21 ЩТ$т'1 lXar am(X) ±(-1)теа] . . . ватИа1...ат(е^)]^а1. ¦ • Уат-
т=1
(10.36)
С2}+1 2 2 " ( B2j+2,
86
Если теперь подставить (36) в (33) при учете (34) и выделить члены,
имеющие порядок ут, то получим равенства, заменяющие (2). В их левой
части будет стоять то же самое выражение, а в правой вместо ряда с
коэффициентами 1//! будет стоять ряд с коэффициентами с2}+1.
6. Другая форма многоиндексных соотношений. Если равенства, о которых
только что говорилось, продифференцировать несколько раз по х в нулевой
точке, то получим новую систему многоиндексных соотношений, не содержащую
дублирования. Их можно вывести также несколько иначе.
При учете (5) формулы (36) можно записать в виде
оо оо
R±(y, *) = ]? 11 ±(~Оте"1---еат%---езп] X
т-1 п=О
X Ц...ат. Рr--P"^V ' • -*Рп
ИЛИ
R+ (у, х) = U+R {у, х), R_ (у, х) = U_R (у, х). (10.37)
Здесь U+ - оператор, оставляющий в разложении функции R только те члены,
для которых
(-1Ге"1...еате31...ерп=1,
и отбрасывающий остальные, а U_ - оператор, оставляющий лишь члены с
(-l)m etti. . e"me3i. . . epn = - 1. (10.38)
Подстановка (37) в (33) дает
UJR (у, х) = -th (2-Hdldy) U+R (у, х). (10.39)
Анализируя действие операторов х (д/ду) U+, U_хд/ду и др. на ряд по
степеням х и у, нетрудно убедиться, что справедливы такие соотношения:
(х д/ду) U+ = U_хд/ду, (х д/ду)2 U+ = U+ (х д/ду)2;
и, следовательно,
th (2-'х д/ду) U+ = U_ th (2~1х д/ду). (10.40)
Вследствие (40) равенство (39) принимает вид
U_ [R (у, х) + th (2~хх д/ду) R (у, х)] = 0. (10.41)
Рассмотрим несколько подробнее, как действует оператор х д/ду на ряд
^ m
F== ^1иПТГЬа1---ат' Ь-- КУа1- ¦ -УатХ^1- ¦ -ХК-
т% п
Имеем
ХуdF/dyy =
Г
:2(^г
m, п
1)! П\ ЬаГ--ат-1^ Рг-'РпУа1- ¦ -yam-lXh - ¦ -ХРпХУ (1°-42)
87
Запишем этот ряд в виде
2ТП\ 6"i •¦"/(• Рг- РАг • -УакхPi' • -*Рг (10.43)
где Ба а предполагается симметричной по индексам
аъ •••, ak, а также по индексам (Зг. Сравнивая (42) и (43)
при k = т - 1, / = "+1, получаем
i
Рг..рг=Р S Ц...айр., Эг.-Эг_xPi+1...pr (10.44)
Будем трактовать (44) как результат действия некоторого оператора Q,
переводящего Ц ... ak+v рх... р,_х в Ба±... ak, рх ... р, :
ба, 3t ... 3; = Q^"X ... ak+v Px ... p,_x.
Тогда вследствие (44) будем иметь
/
(Qb) av..ah, PX-..PZ bav..akf$i, Px - - - Р,-_хРг-+1 - - ¦ Р/-
(10.45)
Эта формула указывает, как действует оператор Q. Итак, мы видим, что
действие оператора х д/ду на ряд F эквивалентно действию оператора Q на
коэффициенты ряда. Учитывая это при подстановке ряда
ОО 00
R(y> *) = 2 S ~тПТ $т~ЧН- Рг-Р Л • • ' V Pi •
ш=1 л=0
в (41) и принимая во внимание наличие оператора U_, указывающего, что
следует отобрать члены, для которых справедливо (38), получаем
lav..am, РХ...Р"= - (th(V2Q)0ar -°-т. Pr--P" или в силу (34)
lar..am, Pr..P" = - ^C2i+lQ2l+4ai...am, рх...ря (10.46)
