Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Нелинейная неравновесная термодинамика " -> 35

Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика — М.: Наука, 1985. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaneravndinamika1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 178 >> Следующая

Функция Ф (х) асимптотически близка к преобразованию Лежандра (8).
Разница между Ф (х) и G (х), как найдено в приложении 1, имеет порядок
kT. Поэтому функция % (В), обратная функции -дФ (х)/дх, близка к функции
dF (В)/дВ, обратной к -dG (х)/дх; разность между ними имеет тот же
порядок величины. Следовательно, X (В) можно записать в виде
Подставляя (15) в равенство (14), которое можно записать так:
¦ ап
<ЗВр dBv
(11.12)
где
т (х) = -8Ф (х)/дх.
Ха1...ап(х) = Ксс1...ап(-~д Ф (х)/дх) [1 + О (kT)],
(11.13)
Kai...an{x) -
= ^v..a.n(l(B)) + \kT
д2Каг . . . ап (В) дгф дВр дВ.} "Зхр dx.j
(x(B))J[l+0((?77)].
(11.14)
Ха (В) - dF (В)/дВа + kTva (В) + О ((kTf).
(11.15)
Ка^..ап (В) -
91
при той же точности будем иметь
K<xv..an(B) -
+
х"1-"я (~т]' +кТи) + кТ д2Каг . . . ап (dF (В)/дВ) g2Q
Kav. ,ап (В)
(тг1)](1+°"47-01
2 дВр дву дхр дх
ИЛИ
kT д2ха1 . . . ап (6F (В)/дВ) Q2Q / др (5)
-1ЩЩ тврв;\-itb-ii 11 + 0 в47-")' <1U6>
Входящая сюда матрица d2G/dxpdxT обратна -d2F (B)/dBpdBv =
= -fpv (В)-
Итак, при выбранной точности мы выразили коэффициентную функцию
Кал...ап(В) через функцию иа ... ап (х). Функции Vy (В) найдены в
приложении 4, они оказываются такими:
у-, (В) = Va^vctp (В) Вар (В), (11.17)
где Far.,ап(В) = dnF (B)/dBai . . . двап.
Если же ограничиться меньшей точностью, соответствующей формуле (13), то
будем иметь тривиальную формулу
Kav..an(В) = Xoj..,оя(dFl(B)/dB) [1+0 (kT)}. (11.18)
Займемся теперь определением коэффициентов кинетического уравнения в
различных приближениях.
3. Линейное приближение. В этом приближении в разложении
Фа (-dG (х)/дх) = /а, рХр + Уа/аР, 7ХрХ, Н (11.19)
функции (9) нужно оставить лишь линейные по х члены. Тогда будем иметь
*а (*) = U, рЛГр, (11.20)
где
'-"=w(0)-^ = w(0)F"(0)'
Зная р, по формуле (10.9) можно получить
Ахр = -2kT'&a$la, р (20ар = 1 -f- 8а6р).
В данном приближении хаР (х) = 1ар- Применяя формулу (18), из последнего
равенства и из (20) находим
Вар (В) = -2kT$a$ta, р. Ка (В) = /а, • (П.21)
Кинетическое уравнение в данном приближении, следовательно, имеет вид
уравнения Фоккера - Планкас
<'122)
92
Данному уравнению соответствует уравнение Ланжевена
= (11.23)
причем
(Есс (*.), ip (t2)) = -2kTKlla, рб (t12). (11.24)
В (22) и (23) вместо /а,в dF(B)ldB& с равным успехом можно взять фа (В).
Однако, если вид функций <ра (В) неизвестен, целесообразно использовать
именно (22) и (23), куда входит матрица /ajP - более простой объект,
нежели функции фа (В).
Впервые определение диффузионного коэффициента Ааз> а с ним и всего
кинетического уравнения произвел Эйнштейн в своей работе по броуновскому
движению (1905 г.). В рассмотренном им простом частном случае функции фа
(В) были линейными, а энергия, заменяющая в данном случае свободную
энергию, была квадратичной.
Полученные выше формулы справедливы, конечно, не только в случае
квадратичной функции F (В).
4. Линейно-квадратичное приближение. При более точном рассмотрении в
разложении (19), согласно которому /а,р... выражаются через фа (В),
следует удержать как линейные, так и квадратичные члены. Зная la, pY, по
ФДС, (10.13) и (10.14) можно найти laр>7 и /оЭ7, а значит, и функции ха|3
(х) = /аР + /аВ, ух хкЭ7 (х) = = /"р7. Затем, применяя (18), можно
получить коэффициентные функции
*ар(В) = /аР + /ар,7-%^- =
= -2kTp -f- kT (eaepev/v, ap - la, p7 - Ifi.ay) -' (11
Ka3v (B) = 2 (kTf d"p7 {la, p7 + h, ay + /V. af>), (11 -26)
где 2'0'apv = 1 - Baepe7.
Нужно отметить, однако, что использование простой формулы
is / d\ i dF (В) , ,, , дВ (В) dF (В) ...
А а {В) - 3 -Щ- + /**", Р7 -Щ- -Щ- . (11 -27)
получаемой из равенства
Ха (-*") == Ах, З^р Г V2^а, р7-*"р-*"7 (11 -28)
по формуле (18), в линейно-квадратичном приближении оказывается
недостаточным. Если пользоваться ею, то решение стационарного
кинетического уравнения будет отличаться от обычного распределения,
(r)рав (В) = const-exp [-Тк(В)//гТ1,
что недопустимо. Дело в том, что, как показано в приложении 5, в линейно-
квадратичном приближении функцию Ка (В) [следует определять с большей
относительной точностью, чем в линейном приближении и чем та точность, с
какой определены функции (25),
93
(26). Относительная погрешность этой функции долж'на быть о (kT), а не О
(kT). Поэтому в данном случае следует брать формулу связи (16), а не
(18). По уточненной формуле (16) в силу (17) из (28) получаем
Первые два члена в правой части (29) обращаются в нуль при В - О в силу
(2), последний член не обязан обладать этим свойством. Поэтому из (29)
следует, что вообще говоря, Ка (0) ф 0. Этот последний член осуществляет
тот малый сдвиг характеристики в вертикальном направлении, о котором
говорилось в п. 7.3. Он необходим, чтобы не было детектирования
флуктуаций, чтобы выполнялось равенство ха (0) = 0 (10.8).
Если при использовании (16) учитывать (9), а не (28), то будем иметь
такую формулу:
В линейно-квадратичном приближении ее можно применять с таким же успехом,
как и (29).
5, Линейно-квадратично-кубическое приближение. В этом приближении в (19)
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed