Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
.,U) = н„({) = —). ,5.42)
Решение исходного уравнения (5.36) имеет вид
ип = Спе-*гНпЦ). (5.43)
Поскольку исходный оператор не самосопряженный, функции (5.43) не ортонормированы. Для их нормировки можно использовать соотношение
/HmUKU) di = Cn jНт{ї)Нп(ї)е-? di = Сп{ъ2пп\Ьпт - Snm
(5.44)
откуда получаем
Cn = 7=~Т • (5-45)
Vw 2"«!
Сама задача похожа на уравнение Шредингера для гармонического осциллятора, которое содержит эрмитовский оператор, в чем и состоит принципиальное различие. Поэтому и нормировка (5.43) не та, что получается для волновой функции осциллятора. 244
ГЛАВА 1.
Позднее нам понадобится «матричный элемент» случайной переменной V, т. е. интеграл вида
(V)nn- = /ял WO ^ Т2ГDfHn(DWAi)e-? dt =
« Я+І + \fn8n. n_x]. (5.46)
Сравнивая (5.30) и (5.34), в стационарном случае для р 21 получаем уравнение
(« - 0 - F - /У2і)р21 - - ^f Pn - 'tI^" + 17^jfci- (5.47) Используя разложение
00
P2i(") = E rn"n(v), (5.48)
п = О
находим
IiE 00
Er„(« -Q-V- 'Y2i)"n(") = ~ ~ ' (~Ги)г«м«('')-
и и = 0
(5.49)
Устремим Г к нулю, т. е. рассмотрим случай медленных флукту-аций. При этом стационарное состояние определяется мгновенным значением v. Другими словами, система адиабатически отслеживает изменение v. За большое время скорость изменения фазы -V должна принимать все возможные значения. Поэтому наблюдаемые величины можно получить при усреднении по v с помощью функции распределения и0(р), определенной в (5.37). Таким образом, в нулевом приближении
Pii (?) = r°u0(v). (5.50)
Умножая обе части уравнения (5.49) на Нт(?)д интегрируя по получаем
(с - О - iy2l)rn - JTD{J^T\rn+1 + J = - ^r0Sn0 + ITnrn
(5.51) РОЛЬ ФЛУКТУАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В СПЕКТРОСКОПИИ 245
Это рекуррентное соотношение можно переписать в виде
Xn = D(n)yn 4- lxn+1 4- Нх„_х\ +дп0) (5.52)
где
-X= -
2 rnh IiEr0
(5.53)
?>(«) =-O^m. (5.54)
W - fl - /(Y2I + иГ)
С аналогичными уравнениями мы уже встречались в гл. 2 (разд. 2.3 и 2.7), где их решения были получены в аналитическом виде (с помощью цепных дробей). В рассматриваемом случае нужно лишь учесть, что п > 0. Тогда
х„ D(n)Jn
I- D(n)J^TT(xn+l/xn) При n = 1 получаем итерационную формулу
Il =_Ш_
rO ! _ 2/)(1)/)(2) '
(5.55)
(5.56)
3/)(2)/)(3)
1 4/)(3)/)(4) 1 - ...
При п — О из (5.51) имеем
|и_О-/у21-^^)г0= (5.57)
(цЕг°/2И)_
гп =
. Jtdd(I)
и - й - /Y2I---
_ 2/)(1)/)(2) 1 _ ...
^iEr0 __1
2h . TD
и -U - /Y21 -¦
(5.58)
«о - й - /'(Y21 + Г) 1 - ... 246
ГЛАВА 1.
Наблюдаемой в эксперименте величиной является среднее
/+ oo
P2Mdv = rO- (5-59)
- OO
Если амплитуда флуктуаций стремится к нулю (D — 0), получаем известный результат, в котором флуктуации вовсе не проявляются:
р2' g со - й- I'Y2I • (5'60)
Используя следующее приближение, получаем из (5.53)
P-Er0_(0-Q- /(y21 + Г)_
(со — ? — />2і)[" - ? - '(Y2I + П] - ГЯ
Ih
(5.61)
Это выражение справедливо лишь при D —• О, поэтому для полюсов имеем
Г, • 'т/\ L 4Z> \ /Г Л , _2D\
со - 0 = /Y21 + у Il ± р - у I = 'Y2I +~2\ ± 1 +~Г)-
(5.62)
Так как по предположению D < Г, один из сомножителей знаменателя (с мнимой частью (y21 + Г)) сокращается с таким же сомножителем в числителе; Поэтому
IiEr0 1
гп = - ¦
(5.63)
2h со - ? - і(Y2] + D) '
Как видим, флуктуации уширяют линию на величину D. Качественно этот результат легко понять, пользуясь зависящей от времени теорией возмущения. Скорость переходов под действием флуктуирующего поля имеет порядок величины
(амплитуда флуктуирующего поля)2 х плотность состояний осии х Г-'.
(5.64)
Значение V2 можно оценить из (5.37) и тогда правая часть (5.64) . будет равна D.
Рассмотрим теперь другой предельный случай Г — оо (быстрые флуктуации). Поскольку D(п)осГ-1/2 (см. (5.54)), каждое из Dn приводит к последовательному уменьшению гп с ростом п. РОЛЬ ФЛУКТУАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В СПЕКТРОСКОПИИ
247
Для больших Г из (5.51) имеем следующее: при п = О
г0 ос Г°, г, а Г '/2.
(5.65)
при п = 2
/Г?> [/3/3 + /2 г,] + /2Tr2 = 0.
(5.66)
Отсюда находим
T1Ocr1/2, г2аГ'
(5.67)
Продолжая оценку для больших п, можно заключить, что все последующие гп образуют геометрическую прогрессию с знаменателем Г~1/2. Для первого нетривиального приближения достаточно рассмотреть члены rQ Hf1. При этом получаем в точности те же выражения, что в (5.61) и (5.63). Этот результат справедлив при увеличении скорости флуктуаций Г и фиксированном значении амплитуды D. При этом корреляционное время случайной величины (Г-1) становится очень малым. Тот же результат можно получить непосредственно из представления в виде цепной дроби (5.58), если использовать оценку
Другой интересный предел — случай быстрых флуктуаций, когда одновременно с увеличением Г(Г — оо) уменьшается D, но произведение TD остается постоянным. Тогда из разложения цепной дроби мо гно оставить лишь первый член
И снова мы получаем результат (5.63). Так как величина и2 = DT фиксирована, то с ростом Г ширина у2\ уменьшается, т. е. линия сужается.
