Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА 1.
ные характеристики излучения. Естественно, нужно иметь в виду и такой источник неоднородности излучения, как многомодовая генерация.
Есть два существенно разных математических метода описания случайных процессов. Первый из них основан на предположении, что случайная величина остается постоянной почти все время, за исключением тех коротких промежутков, за которые она резко изменяется. Примером такого процесса являются столкновения в разреженном газе (см. обсуждение в разд. 1.6, уравнения (1.118) — (1.125)).
В другом пределе предполагается, что случайная величина изменяется также нерегулярно, но непрерывно во времени. В частности, к такому типу относятся процессы, описываемые уравнением Фоккера — Планка. Их можно рассматривать как предельный случай мгновенных изменений, происходящих очень часто и с малым изменением амплитуды. Такая модель используется при описании броуновского движения. Мы уже обсуждали эти вопросы в разд. 1.7 (уравнения (1.132)-(1.136) и (1.139) — (1.157)). Флуктуации лазерного поля можно описывать в рамках именно такого подхода. В этом разделе мы будем использовать описание Фоккера — Планка для определения ширин линий.
Пусть амплитуда поля, вызывающего переходы между энергетическими уровнями частиц, является стохастической величиной ). В данном разделе мы рассмотрим влияние этого предположения на некоторые рассмотренные ранее нелинейные физические процессы. В последние годы задачам о стохастических полях в лазерной спектроскопии были посвящены многие работы. Мы лишь сформулируем постановку задачи и рассмотрим некоторые простые случаи. Необходимая для более подробной информации литература приведена в разд. 5.5.
Большинство работ по исследованию стохастических процессов основано на теории броуновского движения, в которой скорость тяжелой частицы в среде удовлетворяет уравнению
v(t)= -Tv(t) + F(t). (5.1)
Здесь первый член в правой части описывает вязкое трение в среде, а второй — случайную силу, возникающую из-за теплового движения частиц среды. Предполагается, что средняя сила F(t) РОЛЬ ФЛУКТУАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В СПЕКТРОСКОПИИ
237
равна нулю. Уравнение (5.1) называют уравнением Ланжевена. Пусть окружающая частицу среда флуктуирует столь быстро, что значения силы F(I) в различные моменты времени фактически нескоррелированы. На этой основе делается существенное предположение, что окружающая среда воздействует на частицу как тепловой резервуар, т. е. корреляции F(t) при разных t невозможны.
Математически мы можем сформулировать это предположение в виде равенства
F(t)F(t')=2Y2D8(t - г'), (5.2)
где D — коэффициент диффузии, являющийся мерой силы флук-туаций. При этом предполагается, что все корреляторы высших порядков факторизуются, т. е. представимы в виде произведения средних от F и F ¦ F. Это означает, что все нечетные корреляторы равны нулю, так как F- 0. Этими свойствами полностью описывается гауссовский случайный процесс.
Рассмотрим фурье-преобразование случайной силы
/ + oo
e""F(t)dt (5.3)
- oo
и определим величины Ф(со) равенством
F(co)F(co') = IY2D f' Хе,|и1"'" dt = 2тгФ(со)0(со + со'). (5.4)
J CC
Ф(со) называют спектром шума. В нашем случае
Ф(со) = IY2Di (5.5)
(спектр не зависит от частоты). Такой шум называют белым. Формальное решение уравнения (5.1) можно записать в виде
t'(t) = f e r<' T>F(T)dT. (5.6)
J ос
При этом для корреляционной функции получаем
v(t)r(t')= (' е г" т)/"'' е Vu' T)F(j)F{r')dTdr'
ос ос
= 2Y2De '"<'"'> Zv e2VrdT = DYe г" '">» (5.7)
^ ОС 238
ГЛАВА 1.
если t > t'. Для общего случая соотношения времени tut' получаем
„(,)„(,') !,-,'Ij (58)
где средний квадрат скорости определен соотношением
Vi=DY. (5.9)
Отсюда аналогично (5.4) можно найти спектр v(ty.
tJ(w)jJ(w') = / jVw(,+T)e,v,i>(' + r)v(t)dtdr
- 2ttO(u + w') [ + XeiuTv{t + T)v(t)dr. (5Л°)
CC
Здесь использовано предположение о стационарности процесса, т.е. о независимости v(t + r)v(t) от параметра t. Для спектра ФДсо) получаем
/ + OO _.... . . 9Г2
e^v{t + r)v(t)dr = -~-rD. (5-11) -oo w2 + Г2
Таким образом, для броуновской частицы спектр переменной u(t) имеет лоренцевский вид.
Мы предполагаем, что статистический процесс определяется лишь одним нетривиальным коррелятором (5.2), а все корреляционные функции высших порядков расцепляются. Следствием этого является то, что функция распределения P(v, t) случайной величины и в момент времени / удовлетворяет уравнению в частных производных (см. любой учебник по статистической механике)
jtP(v, t) = Г~[vP(v, 0] + г2°?-2р(», ')¦ (5.12)
Это так называемое уравнение Фоккера — Планка. В стационарном случае из (5.12) для P(v) имеем уравнение
dP
TD — = —vP, (5.13) РОЛЬ ФЛУКТУАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В СПЕКТРОСКОПИИ
239
которое легко интегрируется:
P а ехр
V1 '
2 Г D
(5.14)
Очевидно, что этот результат согласуется с (5.9). В случае макс-велловского температурного распределения получаем равенство
D = (5.15)
1 т
которое называют соотношением Эйнштейна.
