Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
Вообще говоря, рассмотрение амплитудных флуктуаций в этом разделе не вполне удовлетворительно, так как мы начали с РОЛЬ ФЛУКТУАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В СПЕКТРОСКОПИИ
261
выделения флуктуирующей добавки в (5.96). Это привело к несколько искусственному выделению в выражении для скоростей поглощения вклада от случайной амплитуды. На самом деле нужно усреднять произведение а\а\, где а, пропорционально полной амплитуде /-го поля. Пример такого подхода рассмотрен в следующем разделе, но как будет видно, аналитические выражения в этом случае быстро становятся очень громоздкими.
5.4. МНОГОМОДОВЫЙ ЛАЗЕР
С НЕСИНХРОНИЗОВАННЫМИ МОДАМИ
5.4а. СТАТИСТИКА МНОГОМОДОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
При многомодовой генерации возможны два предельных случая: во-первых, лазер может работать в режиме синхронизации мод, когда выходное излучение состоит из повторяющейся регулярной последовательности одинаковых импульсов. Во-вторых, генерация на разных частотах может происходить независимо. В реальных лазерных системах чаще всего реализуется некоторый промежуточный случай, который трудно описать теоретически. Мы рассмотрим лишь случай независимой многомодовой генерации, при которой в отличие от режима синхронизации мод выходное излучение характеризуется сильными флуктуациями. Такая модель вполне удовлетворительно описывает многие твердотельные лазеры и лазеры на красителях.
Если пренебречь взаимодействием мод, то их относительные интенсивности флуктуируют не очень сильно. В то же время относительная фаза разных мод может дрейфовать фактически независимо. Поэтому формально поле можно записать в следующем виде:
E(t) = ARe[e(0], (5Л4°)
где
M
e(t) = є'"' ? eje-'iaJl-vK (5.141)
7-1
Здесь 0 — средняя частота, [E7J — амплитуды M независимых мод, у? — случайные фазы. Средняя по времени интенсивность 262
ГЛАВА 1.
есть
M
W2-EN1-
(5.142)
/-і
Определим характеристическую функцию амплитуды поля следующим образом:
(5.143)
Тогда моменты поля разных порядков можно записать в виде
д Vi. д
Ix №1
. (5.144)
A=sO
Так как фазы Ipj предполагаются независимыми и равномерно деленными на интервале (—тг, ж), усреднение в (5.143) сводится после интегрирования к функции Бесселя J0. Для этого заметим, что
J^f ехр[ -i\e,e-'<* +д0'-'> - iX* ?,+J^
1 Cm
= - / ехр( - /21 Xei Icos л:) dx = J0(21 Xel I), (5.145) тт J0
так как в переменную интегрирования х можно включить и фазу ДО/, и arg (Xei). Если M достаточно велико, то, используя (5.142), для характеристической функции можно записать
м м _
Хм(ЬД*) = Г17O(21H1)S П(1 - IM2Ie,!2)
/=I
M
= П е-,л,2,?'|2 = ехр(-|х|2|е|2). (5.146)
/-і
Чтобы получить распределение вероятностей суммарной переменной є(/), нужно найти преобразование Фурье от
Я(е. в*) = /X*). (5.147)
* tt a РОЛЬ ФЛУКТУАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В СПЕКТРОСКОПИИ
263
Переходя к переменным интегрирования X' и X", где X = X' + /X", находим
~ fdX' /"t/X" — — X"2\ef)
tt2 J J
г ехр
(А2 + В2)
W2
где
А = е + є*, B = і (є - є*).
(5.148)
(5.149)
Подставляя (5.149) в (5.148) и сравнивая результат с (5.147), получаем для функции распределения вероятностей
Р(е, є*) «=
1
тт\є\
г ехр
ее
(5.150)
Это очень естественный результат — частный случай центральной предельной теоремы: распределение вероятностей для суммы большого числа некоррелированных случайных величин является гауссовским.
В этом разделе мы будем считать, что амплитуда поля любого многомодового лазера является случайной величиной с гаус-совской функцией распределения на комплексной ?-плоскости. Функцию распределения будем считать заданной определением (5.150). Все эти свойства удовлетворяются, если рассмотреть стохастический процесс, описываемый оператором Фоккера — Планка
L = Thr-E +
: ?* + 4Гк-
де" де*" де де*
в котором введен диффузионный параметр
(5.151)
2Г '
(5.152)
Включение оператора L в уравнение для матрицы плотности осуществляется так же, как мы это делали в предыдущих разделах. Это позволяет поставить любую спектроскопическую зада- 264
ГЛАВА 1.
чу в присутствии случайного комплексного гауссовского поля. Такое поле часто называют хаотическим. Переписав оператор L в виде
е + 2Гк
де*
+ Г
де*
е* + 2Тк^~ ае
(5.153)
легко показать, что LP(e, є*) = 0, где P — функция распределения из (5.150), которая тем самым является стационарным решением стохастической задачи.
Представим поле в виде действительной и мнимой частей
Тогда можно записать д Kd
Поэтому
де 2\дх 'dyj'
? = X + Іу.
в де*
\(_д_ ._д_ 2 ( дх + 1 ду
JLe + -Le* = АХ + А
деЄ де*Є дхХ ду^
(5.154)
(5.155)
(5.156)
де де*
iL JL
\дх2 + ду2
(5.157)
Используя эти соотношения, оператор (5.151) можно записать в виде
L = T
д X г д2 ^ д ,г 32 -т-х + Г/с—- + -г- у + Гк—-
Эх дх2 ду' ду2
(5.158)
Тем самым L представим в виде суммы двух независимых операторов, аналогичных (5.36). Поэтому уравнение на собственные значения
