Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
L<p(x, у) = \<р(х, у)
имеет факторизованное решение
4>(х,у) = Cnmexp
X2 +у2
2 Г/с
Я„
72N
я„
(5.159) , (5.160)РОЛЬ ФЛУКТУАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В СПЕКТРОСКОПИИ
265
получаемое аналогично выводу в разд. 5.2. Собственные значения есть
^nm= ~Г("+ »0. (5.161)
Таким образом, задача сводится к рассмотренной ранее.
Можно также определить другую пару независимых переменных — интенсивность и фазу
е-//У». (5.162)
При этом задача на собственные значения приводит к уравнениям для присоединенных полиномов Лагерра (см. разд. 5.5, где приведены подробные ссылки).
5.46. двухуровневая система
Уравнении для двухуровневой системы в хаотическом поле имеют вид
'Pn = 'U - YiPn) - ^ePi2 + ^e* Pn + 'lPii (5.163) iPn = -'YiP2Z + ^«Pu - ^e*Pn + iLPn (5.164)
ifi2l = (Aw - 'y2)p2i + ^е(рц - p22) + 'Xp21, (5.165)
Здесь уже использовано ПВВ. є — комплексное случайное поле, L — оператор Фоккера — Планка (5.158). Отстройка Aw определена по отношению к средней частоте спектра е(/>.
Определим действительные и мнимые части поля и поляризации:
е = X + iy, N = p11 - p22 f (5.166)
fi2l = k(C + iS). (5.167)
Используя эти подстановки, преобразуем уравнения (5.163)— (5.165) к виду
N = X - YiAr + n(xS -уС) + LN1 (5.168)
S = -y2S - AwC - iixN + LS, (5.169)
С = -y2C + Aw 5 + iiyN + LC. (5.170)266
ГЛАВА 1.
Решение можно получить, раскладывая неизвестные в двойные ряды по полному набору функций (5.43):
N = E и(л, т)и„(х)ит(у),
ns т
S=E ™К(*)"шЫ>
п, т
C=E с(п> т)и„(х)ит(у).
п, т
Подставляя эти разложения в уравнения (5.168) — (5.170) и не пренебрегая зависимостью коэффициентов от времени, получаем
h(n, т) +["ft + Г(и + т)]п(п, т)
= И,(А„0
Jn + 1 s (и + 1, т) + Jns(п - 1, т) -JmTJc(n, т + 1) - Jmc(n, т - 1)], (5.174)
s(n, т) +[у2 + T(w + w)]s(w,w) + Ашс(п, т)
= -^Jfit [jrT+ln(n + 1, m) + Jnn(n - 1, т)}, (5.175)
с(п, т) + \у2 + Y(n + т)\с(п, т) — Аы s(n, т)
= ц{\\ [Jm + \п(п, т + 1) + Jmn(n, т- 1)]. (5.176)
Эта устрашающая система уравнений естественно не имеет простого решения в общем случае.
Однако, как всегда, существенные упрощения возникают в пределе больших Г. При этом основной вклад в решение дают коэффициенты и(0, 0), s(0,0) и с(0, 0), в уравнения для которых входят члены си = 1,w = 0hw = 0, т = 1, умноженные на (Гк),/2 и имеющие порядок величины Г~!/2. Пренебрегая всеми
(5.171)
(5.172)
(5.173)РОЛЬ ФЛУКТУАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В СПЕКТРОСКОПИИ
267
высшими членами, получаем уравнения
j( 1,0)= И(0,0), (5.177)
с(0,1) = и(0,0), (5.178)
и(1,0) = m^Tj(0,0), "(0,1) = -м/|с(0,0). (5.179)
Подставляя эти соотношения в уравнения для w = п = 0, находим
л (0,0) + y1m(O5O) = X- 2/а2ки(0,0), (5.180) j(0,0) + y2j(0,0) + Awc(OjO) = —/a2Kj (0,0), (5.181) с(0,0) + Y2C(0,0) - Awj(O5O) = -ц2кс(0,0). (5.182)
Первое из этих соотношений имеет характерный вид скоростного уравнения для разности заселенностей. Различные члены в нем имеют следующий смысл. Во-первых, полная заселенность убывает со скоростью Y1, что верно и для разности заселенностей (п + Yi и = 0). Во-вторых нижнее состояние накачивается со скоростью X, и, в-третьих, случайное поле к<хе2 выравнивает заселенность уровней (п = -2р2кп). Для стационарного состояния получаем
"(0,0)='7* ¦ (5.183)
1 + 2fi к/Уі
Сравним выражение для параметра насыщения в (5.183) с полученным ранее в (5.122) для флуктуирующей части амплитуды. Хотя мы и отмечали, что (5.112) нельзя использовать при а = 0, однако в пределе Г — оо результат и в этом случае оказывается верным. Лишняя двойка в (5.183) по сравнению с (5.112) появилась из-за двух независимых компонент случайного поля.
В используемом приближении уравнения для дипольного момента (5.181), (5.182) не содержат заселенностей. Собственные268
ГЛАВА 1.
значения этой пары уравнений есть
\±= (У2 + Ц2к) ± І Ды.
(5.184)
Таким образом, дипольный момент осциллирует с частотой Дсо и затухает со скоростью
Так как комплексное случайное поле характеризуется флуктуа-циями и фазы, и амплитуды, то этот результат совпадает с (5.116) и имеет аналогичную интерпретацию.
Сравнивая (5.183) и (5.185), можно сказать, что хаотическое поле в большей степени сказывается на насыщении перехода, чем на уширении линии.
Сделаем несколько заключительных замечаний. Рассматривая предел быстрых флуктуаций, мы получили скоростное уравнение (5.180) для разности заселенностей. Это вполне естественный результат, которого и следовало ожидать для случайного поля с нулевым временем корреляции (Г — оо). Средний дипольный момент не равен нулю, но его временная эволюция не зависит от изменения разности заселенностей (уравнения для п и s, с расцепились). В рассмотренном пределе следствием флуктуаций является уширение резонансной кривой, что можно наблюдать, в частности, при зондировании двухуровневой системы слабым когерентным излучением.
5.5. КОММЕНТАРИИ И ЛИТЕРАТУРА
Теория случайных процессов глубоко разработана. Многие классические работы в этой области воспроизведены в сборнике [140], который и сейчас остается одним из самых ценных пособий. Современный обзор стохастических процессов в физике представлен в книге ван Кампена [76].