Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
Из равенства (5.11) можно заключить, что спектр броуновского движения становится белым, если Г — оо. Это предел быстрых флуктуации, когда корреляционное время Г-1 стремится к нулю, и уравнение (5.1) нельзя использовать. Однако при этом можно определить другую случайную величину x(t), такую, что
1>(0 =*(')¦ (5-16)
Определим при этом новую случайную силу соотношением
(5.17)
Для нее корреляционная функция есть
g(t)g(t')= 2D8(t- Ґ). (5.18)
(Это соотношение следует непосредственно из (5.2).) Используя уравнение (5.1), запишем
X= -Г (x-g). (5.19)
Величину Г можно устремить к бесконечности только в том случае, когда
*(0-*('). (5.20)
Из решения
*(') = fg(r) dr. (5.21)
jQ
для коррелятора получаем
x(t)x(t') = ff''g(T)g(T')drdj' = 2D!', еслиt' < t. (5.22) ¦'о •'о 240
ГЛАВА 1.
В общем случае
x{t)x{t')= 2DMin(f, t'). (5.23)
Таким образом мы получаем описание чисто диффузионного процесса, для которого х2 = IDt. При этом уравнение Фоккера — Планка переходит в диффузионное
ЗР_ = д2Р dt ° дх2 '
(5.24)
Диффузию можно рассматривать как предельный случай более общего процесса (5.12) при Г/ > 1. Во многих случаях это приближение существенно упрощает задачу. Решение уравнения (5.24) хорошо известно. Для частицы, находящейся при / = 0 в точке X — 0, имеем
P(x,t) =
1
-ехр
X
JDt
(5.25)
/4VWt
Как легко видеть, при t - Ї удовлетворяется условие (5.23)
5.2. ТЕОРИЯ ФАЗОВОГО ШУМА
5.2а. ФАЗОВЫЙ ШУМ В ЛИНЕЙНОЙ СПЕКТРОСКОПИИ Рассмотрим поле с флуктуирующей фазой
.?(<) = iEe'V0'+ к.с., (5.26)
воздействующее на простейшую двухуровневую систему (рис. 5.1). Гамильтониан имеет вид
H = М2)(2| + (^V|S2'+,P(')!|1>(2| + э.с.), (5.27)
где мы сразу использовали ПВВ. Индуцированный дипольный момент удовлетворяет уравнению
ip21 = (<о - iy2l)p21 + Ще~'<* + а,>{Рп - р22). (5.28)
В линейном приближении эффектом насыщения можно пренебречь и использовать равенство ри — рп = р°и. Введем новую РОЛЬ ФЛУКТУАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В СПЕКТРОСКОПИИ
240
РИС. 5.1. Двухуровневая система, в которой разрешены дипольиые переходы, а внешнее поле имеет случайную фазу <р.
Hcj-
iie еv
1
переменную р 21, такую, что
p21 = е'<»+0%. (5.29)
При этом из уравнения (5.28) получаем
uE
ip2l = (ы - O - ф - iy21)p21 + JfiPu- (5-30)
Такое преобразование мы уже рассматривали в разд. 1.7 (уравнение (1.142)). Возникающая здесь функция ip также является случайной переменной. Введем обозначение <р = и. Для лазера, работающего в условиях генерации, амплитуда фиксирована условием самосогласованности, но фаза генерации не определена. Она вполне может изменяться (дрейфовать) за счет слабых флуктуации в окружающей среде. Дефазировать лазерное излучение может и квантовый шум. Поэтому вполне правдоподобно предположение о возможности описания изменения фазы в рамках модели броуновского движения. При этом для <р имеем уравнение
ф=-Гф+ F(/), (5.31)
совпадающее с (5.1). Предполагается, что ланжевенова сила F(t) удовлетворяет соотношению (5.2). Как теперь объединить результаты предыдущего раздела с описанием эволюции матрицы плотности?
Следуя разд. 1.4, мы можем записать матрицу плотности в виде (1.74)
P = ElaWaI- (5-32)
a
16—504 242
ГЛАВА 1.
Если 1а> — ортогональные состояния, то Pa — вероятность заселенности этих состояний. Теперь достаточно предположить, что для каждого а величина Pa является функцией — распределением вероятности случайной величины V, т. е. удовлетворяет уравнению Фоккера — Планка
Если флуктуируют характеристики внешнего поля, то параметры Г и D не зависят от а, т.е. уравнение для матрицы плотности имеет вид
Это уравнение может быть дополнено феноменологическими членами накачки и распада в зависимости от физической задачи.
Матрица плотности р является квантовым обобщением статистической функции распределения. В нашем случае она содержит и зависимость от стохастического параметра v. Среднее значение любого оператора 0(v), зависящего от v, определяется выражением
Такой подход может «быть непосредственно обобщен для любого стохастического параметра в гамильтониане квантовой системы.
В том случае, который мы рассматриваем, для случайной переменной V = ф правую часть уравнения (5.30) нужно дополнить оператором Фоккера — Планка.
Для решения нашей задачи нужно знать собственные функции и и собственные значения А оператора L:
^SL =V\±lvP\ ^0ILp
dt dvyа) dv2"
(5.33)
(5.34)
(5.35)
Lun = + TD~un(v) = Xnun(v). (5.36)
dv
dv2
Для A0 = 0 решение имеет вид
u0(v) ос е-*2/2ГО
(5.37) РОЛЬ ФЛУКТУАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В СПЕКТРОСКОПИИ
243
что и можно было ожидать, зная равенство (5.14). Попробуем решать уравнение (5.36) с помощью подстановки
и» = е-'2/2ГЧ(")- (5.38)
Подставляя это выражение в (5.36), находим уравнение
YDo': - Wrn - XnVn = 0. (5.39) Определив новую переменную
І = -F= - (5.40) JlYD
получаем
d 2vrl do.
Те i^r1Kv"= (5-41)
Решением этого дифференциального уравнения являются полиномы Эрмита. Если \ = — п, получаем
