Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
Для вычисления заселенности верхнего уровня нужно найти матричный элемент рш. Для этого достаточно использовать рис. 4.16, б. Как и прежде, имеем
Pnn = '«(Pjv-i,jv _ Pjv, jv-i) = 2almpN = 2 Im BnP00, (4.151)
где 2 Im В
= 21т{
n
1
Д«
n о 'Yjv о
jv-i
П - 'УNn )
л = 1
V
jv- 1
П (ДЧ,0 - 'Y4O)
Л=1
Ч
jvo
„2/V
Awin +
X Re
Nо + Yjvo
jv-i
п
Л=1
П (A«jv„ - 'YjvnXAwn0 - 'Yn0)
(4.152) HLKO ГОРЫЕ ЗАДАЧИ ЛАЗЕРНОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
229
Здесь мы пренебрегли поправками порядка (AcomjMco), где Aco = Асод,;| или Acomv Если все у в формуле (4.152) устремить к нулю, то
2lm Bn = 2^20O(Awjvo). (4.153)
Это результат приближения N-го порядка зависящей от времени теории возмущений, в которой можно определить матричный элемент tN0, связывающий состояния 10> и IN). Как видно, наш вывод также приводит к известному результату (4.153). Но в дополнение к этому можно исследовать роль ширин yjjy которые входят в более общее выражение (4.152). Так как yNn и уп0 могут различаться, то и сбой фазы между разными парами уровней по-разному сказывается на результате. Действительную часть выражения, входящего в (4.152), нельзя представить в виде произведения, содержащего скорость перехода Tm между уровнями О и N. Для каждого из уровней ширина, определяемая столкнови-тельной дефазировкой и распадом, должна подставляться непосредственно в (4.152).
4.5г. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
В большинстве случаев энергия уровней En является нелинейной функцией п. Простейшим является эквидистантный спектр гармонического осциллятора. Естественно, что для него условие резонанса выполняется одновременно для всех переходов, а значит, возбуждение должно быть эффективным. Матричный элемент для перехода между уровнями (и - 1) и и гармонического осциллятора пропорционален Jn. С учетом этого вместо уравнений (4.128) для амплитуд имеем
' іCn = АпС„ -а[/« + 1С„(1+/«С , ]. (4-154) где отстройка на переходе 0 — 1 определена как
А = ? - S2 . (4.155)
Энергия /;-го уровня есть с .
Для решения уравнения (4.154) определим новую переменную
х(п) = ~^- (4.156)
ул! 230
ГЛАВА 1.
Тогда из (4.154) получаем
ix(n) = Апх(п) - а[(л + 1)х(л + 1) + х(п - 1)]. (4.157) Один из методов решения этого уравнения основан на определении производящей функции
При этом
<?(*,')= E *(«)*"¦ (4.158)
п-0
ОС ? ОС ?
E nx(n)z" = Z-E x(n)z" = Z-G п — 0 п = Q
OO 1 00 й
E (л + 1)*(й + 1 )z" = - E nx(n)z" = YzG
W=O W-O
Z х(п - l)z" = zZ x(n)z" = ZG. (4.159)
п-0 n = 0
Домножая обе части уравнения (4.157) на z" и суммируя по п, получаем
dG dG
/-^- +(а - Д^)— = -azG. (4.160)
Решение этого уравнения в частных производных может быть получено методом характеристик. Для определения характеристических траекторий Z = z(t) имеем
dt dz dG
і а — Az azG т. е. два обыкновенных дифференциальных уравнения
(4.161)
jt = -,(a-Az), (4.162)
dG aZ G. (4.163)
dz а - Az
Интегрируя их, получаем
л__/
ч(а/Д)
а - Az = С,е + ,д' . (4.164)
G=C2ea:/1{a- AzT^r (4.165) HLKO ГОРЫЕ ЗАДАЧИ ЛАЗЕРНОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
231
где C1 и C2 — постоянные интегрирования. Считая C2 функцией C1, получаем общее решение (4.160)
G(z, t) = eaz^(a - Д2)(а/Д)2ф[<Г'д'(а - Az)]. (4.166)
Неизвестная функция Ф может быть определена из начальных условий. В простейшем случае, который мы рассмотрим подробнее, система находится в состоянии Ю> при ( — 0. При этом G(z, / = 0) = 1 и
G(z,0) = 1 = eaz/"(a - Az)(a/^ Ъ(а - Az). (4.167) Обозначив аргумент Ф как s, получаем
Ф(\) = s~(a/*)2e~(a/A)2eas/A2.
Таким образом, результат (4.166) представим в виде
„2
где
G(z, t) = е+,а '/дехр
А( 0
;A(t)
-At
ехр
1.
(4.168)
(4.169)
(4.170)
Возвращаясь к исходной задаче, заметим, что коэффициенты х(п) можно представить в виде
V л !
тогда для вероятности имеем
С„ е + ш21/Ьеа2А/Ьг
,2
1
IQl' = ^exp
^(A+А*) A1
аА
T
-АА*
(4.171)
(4.172)
Используя равенство
АА* = 2(1 - cos ДО = 4sin2y = -(А + А*), (4.173) окончательно получаем
IQl
^-е вВ". п\
(4.174) 232
ГЛАВА 1.
Результат для заселенностей имеет вид пуассоновского распределения, причем средний уровень возбуждения определяется как
д г
<«> = ? = 4(J)sin2(^). (4.175)
Если отстройка Д Ф 0, для каждого последовательного перехода условие резонанса становится все хуже. Это приводит к тому, что средний уровень возбуждения не только ограничен, но через некоторое время вновь оказывается очень малым. В случае же точного резонанса A = O уровень возбуждения растет неограниченно:
(п) = а2/2. (4-176)
Пример. Для классического осциллятора, возбуждаемого внешней периодической силой, можно получить результаты, очень близкие к квантовому случаю. Запишем уравнение движения в виде
X + є х =—-cos Qt. (4.177)
т
Если осциллятор первоначально не возбужден (находится в классическом основном состоянии!), то начальные условия имеют вид х = 0, х(0) — 0. Тогда решение уравнения (4.177) есть
