Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
р* = - <р - И|(*))*, откуда и следует равенство, указанное в тексте.
129
Следовательно,
р?2(0) = со(0) С- ( и\ (Ь) f р(х) и] (д:) dx +
Ujyb) а
+ 2м2(Ь) (р - м, (/>)) / р(х) М!(д:) и2(х) t/д: +
а
+ (р- и,(*>))2 / р(х)м2(х) t/x ) + ...
а
или, при условии (68),
р?2(0) = С- f р(х)(и2(Ь)и1(х)+ [р -м,(/>)] и2(х))2dx + ...
U2(b) а
Отсюда, повторяя дословно рассуждения пп. 14 и 13, заключаем, что ?2(0)
не может равняться тождественно нулю при всяком с, т.е. со(Х) не может
равняться тождественно нулю при всяком Хм в том случае, когда со(0) равно
нулю, по крайней мере при условии, что
иг(Ь)Ф0. (69)
Отсюда вытекает, что, по крайней мере при соблюдении условия (69), метод
Шварца - Пуанкаре применим к уравнению (29) и в том случае, когда для
условий второго класса со(0) равно нулю, если подразумевать под с в этом
уравнении любое положительное число, не равное модулю отрицательных
корней функции од(Х), если таковые существуют (или какое угодно
положительное число, если со(Х) не допускает отрицательных корней).
20. Остается показать, что и условие (69) несущественно. Это
достигается совершенно таким же приемом, как и в предыдущем случае
предельных условий первого класса.
Заменяем уравнение (27) уравнением (60) (п. 16). Для этого уравнения в
силу (491), если допустить, что
и2ф) = 0, (70)
получаем
U2(b)=-си{ф) f p(x)ul(x)dx+ ...
а
Но при условии (70) непременно иt(b)Ф 0, ибо Ui(b)u'2(b) - и\(Ь) и2(Ь) =
Ъи2(Ь) I
= 1. Следовательно, -------------- ФО, т.е. U2(b) заведомо не нуль
для ряда
Эс 1с=0
значений с, достаточно близких к нулю.
Отсюда заключаем, что и в том случае, когда для уравнения (26)
со(0) = 0, м2(/>) = 0,
соответствующее выражение ?2 (0) для уравнения (27) не равно нулю при
всяком с.
Следовательно, метод Шварца - Пуанкаре всегда применим к уравнению (27) в
случае предельных условий второго класса и доказывает существование
полной системы вещественных характеристических чисел, среди которых может
быть и число, равное нулю, и соответствующей этим числам пол-
130
ной системы фундаментальных функций второго класса, каковы бы ни были
конечные числа (из которых первое не равно нулю) pure только что
упомянутых условиях.
21. В предыдущих рассуждениях мы предполагали числа а, 0, у, и р, г
конечными и р не равным нулю. Чтобы исчерпать вопрос, необходимо
исследовать особо и все возможные предельные случаи, указанные в пп. 1 -
10 этой главы.
Мы уже видели, что все эти случаи сводятся к трем различным типам
предельных условий вида(14),(15)и(16) (п.7)и что в первом случае
(равенство (14)) метод Шварца - Пуанкаре несомненно применим, если (см.
п. 8)
и2(Ь)Ф0-, (23)
во втором (равенство (15)) - если
м I (*)+ (*) ^ 0; (23 о
в третьем (равенство (16)) - если
и2(Ь)-&и2(Ь)Ф 0. (232)
Покажем теперь, что изложенный выше прием сдвига шкалы характеристических
чисел применим с некоторыми изменениями и упрощениями и к рассматриваемым
предельным случаям, когда неравенства (23), (231) и (232 ) не имеют
места.
22. Допустим, что для предельных условий первого класса
и2(Ь) = 0. (71)
Заменим уравнение (26) уравнением (27). Метод Шварца - Пуанкаре будет
применим к этому последнему уравнению при условиях (14), если возьмем для
с какое-либо такое значение, при котором
и2ф)Ф 0. (72)
Но если имеет место равенство (71), то, на основании (491) (п. 12),
и2ф)=- си1ф) f р(х)и\(х) dx+ ... (73)
Так как и2ф) и U\(b) одновременно не могут равняться нулю, то из (73)
Ы)2ф)
заключаем, что ------------- Ф 0, т.е. что U2(b) не может
равняться нулю
дс с=0
тождественно при всяком с хотя и обращается в нуль при с = 0.
Придерживаясь обозначений п. 11, можем написать следующее тождество:
W2(x, 0) = U2(x), откуда W2(b, 0) = 112ф). Но W2(x, p) = w2(x, X).
Следовательно (см. второе из равенств (40) п. 11), С/2(*) = W2(b, 0) =
w2(b,-c).
Отсюда следует, что U2(b) остается неравным нулю при всяком положительном
с, не равном модулю какого-либо отрицательного корня уравнения
w2(b, X) = 0,
если таковые существуют (или при всяком положительном с, если функция
w2(b, X) не имеет отрицательных корней).
Выбрав в уравнении (27) с указанным способом и применив к этому уравнению
метод Шварца-Пуанкаре, что возможно в силу (72), докажем
131
существование полной системы вещественных характеристических чисел рк (к=
1,2,3,...) и им соответствующих фундаментальных функций Vk (*) (А: = 1,
2, 3, ...) первого предельного класса, независимо от ограничения (69),
поставленного в п. 19.
23. Предположим теперь, что для условий второго предельного класса
(равенство (15) п. 6)
м,(6) + 7и2(6) = 0. (74)
Из равенств (49) и (49,) (п. 12) при помощи (74) выводим
В = Ut ф) + yU2ф) = с ( и2ф) J р(х) и](х) dx -
а
~lui(b)-yu2(b)] f р(х) и l(x)u2(x)dx -уихф) f p(x)ul(x)dx ) + ...
о a
... = си2ф) f p(x) [m,(x) + yu2(x)]2 dx+ ...,
a
т.е.
ЪВ
- Ф 0.
дс c=o
Кроме того, на основании тех же самых соображений, что и в предыдущем
пункте, можем писать
B = U, (6) + уU2 (b)=Wt (Ь, 0) + у W2(Ь, 0) =
