Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
предельных классов (см. п. 6 предыдущей главы), обращаться в нуль на
одном из концов данного промежутка [a, ft], и если могут, то при каких
условиях? Подобно предыдущему, рассмотрим отдельно случаи функций первого
и второго классов.
Начнем с функций первого класса, определяемых уравнениями
V'k'(x) + \\кр(х) - </(*)] Vk(x) = 0 (1)
и предельными условиями
Vк (Ь) -<*Vk (а) - ft Vk (ft) = 0, V'k (а) - у Vk(в) + a Vk (ft) = 0.
(2)
134
Каждая фундаментальная функция К*(х) представляется при помощи частных
решений \v | (jc. X) и us (дг, X) (см. п. 3 гл. V) в виде
Vk(xy= С\к) н',(дг. X/t) + С\к) w2(x, X*), (3)
где С1 и С2 - определенные постоянные.
Допустим, что при некоторых значениях характеристических чисел X* функция
Vk(x) при соблюдении условий (2) обращается в нуль при х = а. Приняв в
расчет условия (8) п. 3 гл. V, которым подчинены функции iv, (дг, X) и
и'2 (дг, X), заключаем из (3), что для рассматриваемых значений C(f) = 0
и функция Vk (х) имеет вид
Vk(x) = Cik)w2(x,\kl (4)
Так как К*(х) должна удовлетворять условиям (2), а С2(Ас) не нуль, то,
подставив выражение (3) в уравнения (2), заключаем, что сделанное
допущение возможно лишь для тех значений X*, которые одновременно
удовлетворяют двум следующим уравнениям:
w'i(p. X*) - pw2(b, X*) = 0, 1 + ан'2(й, X*) = 0. (5)
При этом уравнение характеристических чисел со(Х*) = 0удовлетворяется
само собой.
Итак, только такие фундаментальные функции первого класса могут
удовлетворять одновременно условию
Vk(a) = 0 (6)
и условиям (2), характеристические числа которых служат вещественными
корнями, общими для двух уравнений (5).
2. Условие (6), очевидно, не всегда совместимо с основными условиями (2).
Второе из уравнений (5) показывает, например, что равенство (6)
невозможно при а = 0.
Для тех значений \к,при которых (когда это возможно) Vk(a) обращается в
нуль, Vk (b) наверное не равно нулю.
В противном случае мы имели бы, как следует из условий (2),
v'k(b)= ^(J) = 0.
что невозможно, если Vk(x) -нетождественный нуль, ибо линейное однородное
уравнение второго порядка (1) не может иметь интеграла, отличного от нуля
и обращающегося при начальном значении х = а в нуль одновременно со своей
производной.
3. Рассмотрим теперь случай фундаментальных функций второго класса,
определяемых тем же уравнением (1) и следующими предельными условиями:
уk (Ь) = pVk 00, Vi (Ь) =^V'k 00 + TV к 00- (7)
Если Vk(a) = 0, то в силу первого из (7) необходимо и Vk(b) = 0. При этом
второе из (7) принимает вид
УЦЬ)= у Vi (а), (8)
135
причем УЦа)Ф 0.
(8.)
Подобно тому, как в предыдущем случае, из (3) заключаем, что при
сделанном предположении
Vk(x) = dk)w2(x, \к). (9)
Отсюда следует, что Vk(x) может обращаться в нуль при х = а лишь для тех
значений Л*, которые служат в то же время корнями уравнения w2 (Ь, \к) =
= 0. Подставив затем выражение (9) для Ук(х) в (8), получаем pw'2(b, X*)
- - 1 =0.
Итак, фундаментальные функции второго класса могут обращаться в нуль при
х = а только для тех вещественных корней функции со (Л), которые служат в
то же время вещественными корнями, общими для двух уравнений вида
w2(b, Х) = 0, pw'2(b, X)- 1 =0. (10)
4. Как мы уже знаем, каждому характеристическому числу X* может,
вообще говоря, соответствовать либо одна, либо две различные
фундаментальные функции (пп. 24 и 28 гл. V). Найдем необходимые и
достаточные условия, которым должны удовлетворять те из
характеристических чисел их полной системы, каждому из которых могут
отвечать по две линейно независимые фундаментальные функции.
В п. 3 гл.. V было указано, что всякая фундаментальная функция
определяется равенством (10), где постоянные С, и С2 для функций первого
класса должны удовлетворять уравнениям 11. Очевидно, что, коль скоро эти
уравнения при каком либо X*, равном корню функции со(Х) (равенство (12) и
(12t) п. 3 гл. V), дадут определенное значение для отношения С2/С, (или
С,/С2 ), формула
V(x) = C1w1(x, X) + C2w2(jc, X) (10,)
доставит единственное (определенное) выражение для фундаментальной
функции, отвечающей этому числу X*, ибо произвольный множитель С,
(илиС2), который войдет при этом в выражение V(x), определится из условия
нормальности.
Такому характеристическому числу X* будет соответствовать одна и только
одна фундаментальная функция. Это обстоятельство будет всегда иметь
место, коль скоро по крайней мере один из элементов определитедя системы
двух линейных однородных относительно С, и С2 уравнений (12) (п. 3 гл. V)
не равен нулю.
Следовательно, две различные фундаментальные функции могут отвечать лишь
тем значениям X, которые обращают в нуль все элементы только что
упомянутого определителя.
Это условие - необходимое.
Понятно, что оно является и достаточным: уравнения (И) (п. 3 гл. V)
удовлетворяются при этом при всяких Ci и С2 и равенство доставит для
рассматриваемых значений X* две различные функции, удовлетворяющие всем
условиям задачи. За такие функции мы можем принять две какие угодно
