Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
линейно независимые комбинации из функций Wi (jc, X*) и w2(jc, X*).
136
Таким образом, приходим к заключению, что только тем значениям X могут
соответствовать по две различные фундаментальные функции первого класса,
которые являются корнями, общими для следующих четырех уравнений:
4-1(6, Х)-0и-,(6, Х)-о = 0, (а)
w'2(b, Х)-0и-2(6, Х) = 0, (Ь)
он-, (6, X) - у = 0, (с)
1 + аи-2(6, X) = 0. (d)
5. Нетрудно убедиться, что эти четыре уравнения равносильны трем, ибо
одно из них есть прямое следствие двух других. Умножив (а) на и-2 (6. X).
(Ь) на н-, (6, X) и вычтя результаты, получаем
н-, (6, X) w'2(b, X) - и-2(6, X) н-', (6, X) + аи-2(6, X) = 0,
откуда при помощи равенства (9) п. 3 гл. V выводим уравнение (d).
Поэтому можем утверждать, что по две линейно независимые фундаментальные
функции первого класса могут соответствовать лишь тем характеристическим
числам, которые служат вещественными корнями, общими для трех следующих
уравнений :
и-1(6. X) - /Зн-2(6, Х) = 0,
он-,(6, X)-7 = 0, (12)
1 +он-2(6, X) = 0.
Всякому же другому характеристическому числу, взятому из их полной
системы, будет отвечать одна и только одна фундаментальная функция.
Обратно, всякому вещественному значению X*, служащему корнем, общим для
трех уравнений (12), когда таковой существует, непременно соответствуют
две различные фундаментальные функции.
Очевидно, что всякий корень, общий для трех уравнений (12), есть в то же
время корень уравнения
со(Х) = 0, (13)
ибо прямым следствием уравнений (12) является и четвертое из уравнений
(11), причем уравнение (13), очевидно, отождествляется.
При этом уравнения (11) п. 4 гл. V отождествляются при каких угодно
значениях С, и С2 и, следовательно, всякому вещественному значению X*,
служащему корнем уравнений (12) этого пункта, действительно соответствуют
две линейно независимые фундаментальные функции, как это показано в
предыдущем пункте.
Заметим, что уравнения (12), очевидно, невозможны при о = 0.
Поэтому, каждому характеристическому числу X* для функций первого класса,
подчиненных предельным условиям вида
V'k(b) = tvk(b), Vk(a) = yVk(a),
всегда соответствует одна и только одна фундаментальная функция.
Это именно обстоятельство имеет место в задаче об охлаждении
неоднородного стержня (см. п. 11 гл. IV).
137
6. В случае фундаментальных функций второго класса обращаемся к
уравнениям (20) п. 8 гл. V. Повторяя рассуждения п. 4, убеждаемся, что
соответствие одному и тому же характеристическому числу двух различных
фундаментальных функций второго класса возможно тогда и только тогда,
когда это число является одним из вещественных корней, общих для
следующих уравнений:
Легко видеть также, что эти уравнения сводятся к трем следующим:
ибо уравнение (с) есть прямое следствие уравнений (a), (d) и следующего:
Wi (b, X) и>2(Ъ, X) - н'2 (b, X) н i (b, X) = 1.
Итак, по две различные фундаментальные функции могут иметь лишь те
характеристические числа, которые служат вещественными корнями, общими
для трех уравнений (15) ; всякому такому корню соответствуют непременно
по две различные фундаментальные функции, всем же остальным
характеристическим числам их полной системы соответствует каждому по
одной и только по одной фундаментальной функции второго класса.
7. Сравнивая уравнения (5) с (12) для функций первого класса и
уравнения (10) с (14) для функций второго класса, видим, что в обоих
случаях одна из двух фундаментальных функций, отвечающих одному и тому же
характеристическому числу (когда это возможно), непременно принадлежит к
тем, которые обращаются в нуль при х = а. Так как линейное однородное
уравнение второго порядка не может допускать двух независимых между собой
решений, которые обращались бы одновременно в нуль при х = а, то вторая
фундаментальная функция, отвечающая тому же характеристическому числу,
необходимо отлична от нуля при этом значении х. Это одинаково справедливо
для функций обоих классов.
Обозначим через
ряд вещественных чисел (если такие числа существуют), который, вообще
говоря, может быть ограниченным или неограниченным, удовлетворяющих
одновременно уравнениям (5) (или (10)). Остальные числа полной системы
характеристических чисел (за исключением чисел (а)) обозначим через
которая представится, таким образом, совокупностью двух рядов чисел (а) и
(Р). Каждому числу ряда (а) будет соответствовать только одна
фундаментальная функция (первого или второго класса), удовлетворяющая
условиям
wt(b, X) - р = 0, и/, (Ь, X) - т = 0,
и'2(Ь, Х)--1- =0,
и>2 (b, X) = 0.
(a)
(b)
(14)
(е)
(d)
Wi (b, X) - р - 0, vv'i (b, X) - т = 0, w2(/>, Х) = 0,
(15)
(")
Ф)
Ук(а) = 0, У'к(а)Ф 0. Ук(Ь)Ф 0.
(16)
138
Каждому числу ряда (0) будут соответствовать лишь такие фундаментальные
функции, для которых
Ук{а)Ф0. (17)
Обозначим через
(7)
ряд вещественных корней, общих для уравнений (12) или (15) (когда таковые
существуют).
Так как уравнения (5) и (10) составляют соответственно лишь часть
